崇义中学2015届高三上学期第一次月考

数学（文科）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 在直角三角形
中，
，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则
（ ）

A．0 B．
C．
D．4

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝（ ）

A．1 B．－1 C．2 D．

6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知点
是椭圆
上的一动点，
为椭圆的两个焦点，
是

坐标原点，若
是
的角平分线上的一点，且
，则
的取值范

围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 如图，半径为1的圆
切直线
于
点，射线
从

出发绕着
点顺时针方向旋转到
，旋转过程中
交

⊙
于点
，记
为
，弓形
的面积
，

那么
的大致图象是 （ ）

[]

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡中的横线上.）

11. 已知函数
，则
.

12．运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 .

13. 如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2，

，M、N分别为SB、SC上的点，

则△AMN周长最小值为 .

已知函数
, 若
, 则实数
的取

值范围 .

15. 若实数
满足
则
的最小值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



16.（本小题满分12分）

城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：

（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步

的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

17.（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明
…
.

18.（本小题满分12分）

如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于
，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设
,求
面积的最大值及此时
的值.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，点
是
的中点，
，交
于点
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆C：

的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的

对称点为A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
，和直线m: y=kx+9，又
．

（1）求
的值；

（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线
的切线，又是
的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由．

（3）如果对于所有
的
,都有
成立，求k的取值范围．

崇义中学文科数学月考一试卷答案

17.解析：（1）设等差数列的公差为d，

由
得
即d=1； …………3分

所以
即
． …………6分

（2）证明：

了 因为
　　　　　…………8分

所以
…
…
…12分

18.解析:(1)在
中，
,
,由

··············5分

（2）
平行于

在
中，由正弦定理得
，即

，

又
,
. ··············8分

记
的面积为
，则

=
， ·············10分

当
时，
取得最大值
. ··············12分

19.证明：（1）∵
底面
，∴

又
∴
面

∴
······①··········3分

又
，且
是
的中点，∴
·········②

由①②得
面
∴

又
∴
面

∴平面
平面
····················6分

（2）∵
是
的中点，∴
.·······9分

······12分

20.

·················5分

（2）设直线
：
与
联立并消去
得：

.

记
，
，
，

. ························8分

由A关于
轴的对称点为
，得
，根据题设条件设定点为
（
，0），

得
，即
.所以

即定点
（1 ， 0）.……………13分

21．解：（1）因为
,所以
即
,

所以a=－2. ·················3分

(2)因为直线
恒过点（0，9）.

设切点为
,因为
.

所以切线方程为
,将点（0，9）代入得
.

当
时，切线方程为y=9, 当
时，切线方程为y=12x+9.

由
得
，即有

经检验，当
时，
的切线方程为


是公切线，

又由
得


或
，

经检验，
或
不是公切线

∴
时
是两曲线的公切线 ·················8分

(3)①
得
，当
，不等式恒成立，
.

当
时，不等式为
，

而

当
时，不等式为
，

当
时,
恒成立，则
················11分

②由
得