2014年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（文）

（考试时间：9月4日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知
是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则

（A）
(B)
(C)
(D)

2. 设集合
则

(A) [1,3) (B) (1,3) (C) [0,2] (D) (1,4)

3. 若向量
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

4. 设
是首项为
的等差数列，则“
为递增数列”是“
”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

5. 将函数
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数

(A) 在区间
上单调递减 (B) 在区间
上单调递增

(C) 在区间
上单调递减 (D) 在区间
上单调递增

6. 执行如图所示的程序框图，若输入的
的值为1，则输出的
的值为

(A)5 (B)3 (C)2 (D)1

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A)
(B)

(C)
(D)

8.已知
，若
是
的最小值，则
的取值范围为

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)

第6题图 第7题图

9. 为了研究某药物的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

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数学（文）

第Ⅱ卷（非选择题，共 100分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11.函数
的定义域是 （用区间表示）;

12. 在等差数列
中，
,则
的前5项和
= ;

13. 函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是 ;

14. 在
中，
,则
的面积等于 ;

15.下图展示了一个由区间
到实数集R的映射过程：区间
中的实数
对应数轴上的点
，如图1；将线段
围成一个圆，使两端点
恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在
轴上，点
的坐标为
，如图3.图3中直线
与
轴交于点
，则
的象就是
，记作
.

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

①方程
的解是

； ②
；

③
是奇函数； ④
在定义域上单调递增；

⑤
的图象关于点
对称．

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（本题满分12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期； （Ⅱ）求
在闭区间
上的最大值和最小值.

17．（本题满分12分）某手机厂生产
三类手机，每类手机均有黑色和白色两种型号，某月的产量如下表(单位：部)：

手机

手机

手机



黑色

100

150

400



白色

300

450

600



（Ⅰ）用分层抽样的方法在
类手机中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2部，求至少有1部黑色手机的概率；

（Ⅱ）用随机抽样的方法从
类白色手机中抽取8部，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8部手机的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

18．（本题满分12分

）已知
为定义在
上的奇函数，当
时，函数解析式为
.

（Ⅰ）求
在
上的解析式；

（Ⅱ）求
在
上的最大值．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正切值.

20．（本小题满分13分）

已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
，
，
成等比数列。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
=
求数列
的前
项和
。

21.（本小题满分14分）

已知函数
（
为常数）的图象与
轴交于点
，曲线
在点
处的切线斜率为
.

（Ⅰ）求
的值及函数
的极值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数
，总存在
，使得当
，恒有
.

2014年高2015届成都高新区学月统一检测

数学（文）标准答案与评分细则

一、选择题：1-5：DAADA 6-10： BBDCB

部分解答：

7. 解析：选B。由三视图知：几何体是正方体切去两个
圆柱，

正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，

∴几何体的体积V=23﹣2×
×π×12×2=8﹣π．

8.解析：选D。

解法一：排除法。

当a=0时，结论成立，排除C；

当a=-1时，f(0)不是最小值，排除A、B，选D。

解法二：直接法。

由于当
时，
在
时取得最小值为
，由题意当
时，
递减，则
，此时最小值为
，所以
，选D。

10. 解析：选B。

当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；

当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥
，

令f（x）=
，则f′（x）=
=﹣
（*），

当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，

f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；

当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤
，

由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；

综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．

二、填空题：11.
12. 15 13. (0,1] 14.
15.①④⑤

部分解答：

15. 解析：

①
则
，正确；

②当
时，∠ACM=
,此时
故
，不对；

③
的定义域为
不关于原点对称，是非奇非偶函数；

④显然随着
的增大,
也增大;所以
在定义域上单调递增 ，正确；

又整个过程是对称的,所以正确。

三、解答题：

16.解：（Ⅰ）由已知，有

..................................2分

. ....... ....... ....... ....... 4分

所以，
的最小正周期
. ..................................6分

（Ⅱ）因为
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数. ...8分

根据图像的对称性知其最小与最大值分别为：
，
.

所以，函数
在闭区间
上的最大值为
，最小值为
. ..........12分

17.解：(Ⅰ)设所抽样本中有
部黑色手机，

由题意得＝，即a＝2.

因此抽取的容量为5的样本中，有2部黑色手机，3部白色手机。........2分

用A1，A2表示2部黑色手机，用B1，B2，B3表示3部白色手机，用E表示事件“在该样本中任取2部，其中至少有1部黑色手机”，

则基本事件空间包含的基本事件有：

(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个． ......................... 4分

事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．

故P(E)＝，即所求概率为. ................................6分

(Ⅱ)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.

设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，

所以P(D)＝＝，即所求概率为........................................12分

18.解：(Ⅰ)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．

∴f(－x)＝－＝4x－2x.

又∵f(－x)＝－f(x)

∴－f(x)＝4x－2x.

∴f(x)＝2x－4x.

所以，
在
上的解析式为f(x)＝2x－4x .................... 6分

(Ⅱ)当x∈[0,1]，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，

∴设t＝2x(t>0)，则f(t)＝t－t2.

∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．

当t＝1时，取最大值为1－1＝0.

所以，函数在[0,1]上的最大值分别为0。 ................... 12分

19.解：（Ⅰ）如图，取
中点
，连接
，
.

由于
分别为
的中点， 故
，且