2014年高2011级第三次诊断考试

数学试题（理工类）

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分。试题卷上不答题，请将第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置。考试结束，只交答题卡。

3．可能用到的公式：球的表面积S=4πR2,体积V=
πR3,其中R为球的半径. 柱体的体积

V=Sh,锥体的体积V=
Sh,其中S为底面积,h为高. 数据x1,x2,…,xn的平均数
,方差
.

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．设复数z满足z·(i-1)=2i(其中i为虚数单位),则z等于

(A)1-i (B)1+i (C)-1+i (D)-1-i

2．设集合
,
,则
等于

(A)
(B)
(C)
(D)

3．设为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是

(A)若a∥,b∥,则a∥b (B)若a⊥,a∥b,则b⊥；

(C)若a⊥,a⊥b,则b∥ (D)若a∥,a⊥b,则b⊥.

4．抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则实数a之值为

(A)4 (B)
(C)
(D)-4

5．已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若(a + b)∥(a - 2b),则实数x的值为

(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

6．设等比数列{an}的前n项积
,若P12=32P7,则a10等于

(A)16 (B)8 (C)4 (D)2

7．已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x,则f(log94)的值为

(A)-2 (B)
(C)
(D)2

8．关于函数f(x)=sinx(sinx-cosx)的叙述正确的是

(A)f(x)的最小正周期为2π

(B)f(x)在
内单调递增

(C)f(x)的图像关于
对称

(D)f(x)的图像关于
对称

9．如图,一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰

直角三角形和一个边长为1的正方形,则其外接球的表面积为

(A)π (B)2π (C)3π (D)4π

10．已知实数a,b满足
,则不等式
成立的概率为

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置上)

11．执行右图程序,当输入42,27时,输出的结果是________.

12．若实数x,y满足
,则
的取值范围是________.

13．从总体中随机抽出一个容量为20的样本,其数据的分组及各组的

频数如下表,试估计总体的中位数为________.

分 组

[12,16)

[16,20)

[20,24)

[24,28)



频 数

4

8

5

3



14．设a为非零常数,已知
的展开式中各项系数和为2,则展开式中常数项等于________.

15．已知函数
,下列关于函数
(其中a为常数)的叙述中:

①对a∈R,函数g(x)至少有一个零点;

②当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;

③a∈R,使得函数g(x)有三个不同零点;

④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.其中真命题有________.(把你认为的真命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题12分)在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,∠BDA=60o,∠CBD=15o,求BC长.

17．(本小题12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60o,又PA⊥底面ABCD,AB=2PA,E为BC的中点.

(1)求证:AD⊥PE;

(2)求平面APE与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

18．(本小题12分)盒子装中有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回.

(1)若抽取三次,求前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率;

(2)若不断抽取,直至取出标有偶数的卡片为止,设抽取次

数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.

19．(本小题12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-n(n-1),其中n∈N*.

(1)求证:{an}是等差数列;

(2)求证:an? an+1<4Sn;

(3)求证:
.

20．(本小题13分)已知A、B是椭圆
上的两点,且
,其中F为椭圆的右焦点.

(1)求实数
的取值范围;

(2)在x轴上是否存在一个定点M,使得
为定值?若存在,求出定值和定点坐标；若不存在,说明理由.

21．(本小题14分)已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)问过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切？并说明理由;

(3)若
在区间(0,1)内是单调函数,求a的取值范围.

2014年高2011级第三次诊断考试

数学试题（理工类）参考答案及评分意见

一、选择题（每小题5分，共50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

D

B

C

A

D

B

D

C

C



10．提示：设
,则
且
.由直线与圆

(四分之一)的位置关系知
,解得a∈[-4,-1]∪[5,8].由不等式
得|1-a|<2或|1-a|>4,解得a∈(-∞,-3)∪(-1,3)∪(5,+∞).所以当a∈[-4,-3)∪(5,8]时不等式成立.由几何概型的概率公式可得
。

11．9 12．
13．19 14．240 15．②④.

14．提示：令x=1得a=2.又
的展开式通项
.因6-2r为偶数,故6-2r=-2即r=4.所以
的展开式的常数项为
.

15．提示：数形结合可得:当a>0时无零点;当a=0时有2个零点;当a<0时有4个零点.

16．解：在ΔABCD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos60o,

即BD2-5BD-24=0,解得BD=8.（6分）

在ΔBCD中,由正弦定理得:
.（12分）

17．（1）证明：因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60o,且E为BC的中点,所以AE⊥BC.

又BC∥AD,所以AE⊥AD.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD.

于是AD⊥平面PAE,进而可得AD⊥PE.（6分）

（2）解：分别以AE、AD、AP为x、y、z轴,设AP=1,则

,
,
,
.

显然,平面APE的法向量为
,设平面PCD的法向量为
,则

由
解得
.所以
.

故平面APE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为
.（12分）

18．解：（1）设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A,“第三张为奇数”为事件B,则所求概率为
.（6分）

（2）ξ=1,2,3,4.

;
;

;
.

所以
. （12分）

19．证明：（1）当n≥2,n∈N*时,由已知Sn=nan-n(n-1)得Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2).

两式相减得Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1).又Sn-Sn-1=an,所以(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1).

即an-an-1=2(n≥2,n∈N*).所以{an}是以1为首项、2为公差的等差数列. （4分）

（2）由(1)得an=2n-1,Sn=n2,n∈N*.所以an?an+1=(2n-1)?(2n+1)=4n2-1<4Sn; （8分）

（3）由(2)得
,所以

. （12分）

20．解：（1）由已知条件知:直线
过椭圆右焦点
.

当直线
与轴重合时,
.

当直线
不与轴重合时,可设
,代入椭圆方程,并整理得

.

设
,由根与系数的关系得
,
.

所以
.又由
得
,所以

,解之得
.

综上,实数
的取值范围是
. （7分）

（2）设
，则

为定值,所以
,解得
.

故存在定点
,使得
为定值
.

（经检验，当
与轴重合时也成立） （13分）

21．解：（1）由
得

,
(舍去).

所以f(x)在区间
内单调递减,在
内单调递增.（3分）

（2）设切点
,则切线方程为
.

因为过原点,所以
,化简得
（※）.

设
,则
,所以
在区间
内单调递增.又
,故方程(※)有唯一实根
,从而满足条件的切线只有一条.（8分）

（3）
.

设
,则
,显然
在区间(0,1)内单调递减.

①当
时,
,从而
在(0,1)内恒成立,即
在(0,1)内单

调递增.注意到
,所以
即
在(0,1)内恒成立.于是
在区间(0,1)内单调递减,符合题意.

②当
时,
,
,从而
,使得
在
内恒成立,
在
内恒成立.即
在
内单调递增,在
内单调递减.又
,所以
,又
,所以存在
,使得
即
在
内恒成立,
即
在
内恒成立.因此
在区间(0,1)内既有递减区间
,也有递增区间
,不符合题意.综上可知,实数的取值范围是
.（14分）