2014年高2011级第三次诊断考试

数学试题（文史类）

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分。试题卷上不答题，请将第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置。考试结束，只交答题卡。

3．可能用到的公式：球的表面积S=4πR2,体积V=
πR3,其中R为球的半径. 柱体的体积

V=Sh,锥体的体积V=
Sh,其中S为底面积,h为高.数据x1,x2,…,xn的平均数
,方差
.

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．设i为虚数单位,则
等于

(A)1-i (B)1+i (C)-1+i (D)-1-i

2．设集合
,
,则
等于

(A)
(B)
(C)
(D)

3．设为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是

(A)若a∥,b∥,则a∥b (B)若a⊥,a∥b,则b⊥；

(C)若a⊥,a⊥b,则b∥ (D)若a∥,a⊥b,则b⊥.

4．抛物线y=-x2的准线方程为

(A)x=
(B)x=
(C)y=
(D)y=

5．已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥(a + b),则实数x的值为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)4

6．在等比数列{an}中,若a2?a4?a12=64,则a6等于

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7．已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x,则f(log32)的值为

(A)-2 (B)
(C)
(D)2

8．关于函数f(x)=sinx(sinx-cosx)的叙述正确的是

(A)f(x)的最小正周期为2π

(B)f(x)在
内单调递增

(C)f(x)的图像关于
对称

(D)f(x)的图像关于
对称

9．如图,一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰

直角三角形和一个边长为1的正方形,则其外接球的表面积为

(A)π (B)2π (C)3π (D)4π

10．已知实数x,y满足
,则不等式
成立的概率是

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置上)

11．已知
,则
等于________.

12．执行右图程序,当输入42,27时,输出的结果是________.

13．若实数x,y满足
,则
的取值范围是________.

14．从总体中随机抽出一个容量为20的样本,其数据的分组及各组的频数

如下表,试估计总体的中位数为________.

分 组

[12,16)

[16,20)

[20,24)

[24,28)



频 数

4

8

5

3



15．已知函数
,下列关于函数
(其中a为常数)的叙述中:

①a>0,函数g(x)至少有4个零点;

②当a=0时,函数g(x)有5个不同零点;

③a∈R,使得函数g(x)有6个不同零点;

④函数g(x)有8个不同零点的充要条件是0

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题12分)在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,∠BDA=60o,∠CBD=15o,求BC长.

17．(本小题12分)盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现从中任意抽出三张.

(1)求三张卡片所标数字之和能被3整除的概率;

(2)求三张卡片所标数字之积为偶数的条件下,三张卡片数字之和为奇数的概率.

18．(本小题12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60o,又PA⊥底面ABCD,E为BC的中点.

(1)求证:AD⊥PE;

(2)设F是PD的中点,求证:CF∥平面PAE.

19．(本小题12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a6,S8=S5+21.

(1)求Sn的表达式;

(2)求证:
.

20．(本小题13分)已知A、B是椭圆
上的两点,且
,其中F为椭圆的右焦点.

(1)当
时,求直线AB的方程;

(2)设点
,求证:当实数变化时,
恒为定值.

21．(本小题14分)已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.

(1)当a=-1时,求f(x)的极值;

(2)若f(x)是区间
内的单调函数,求实数a的取值范围;

(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切？请说明理由.

2014年高2011级第三次诊断考试

数学试题（文史类）参考答案及评分意见

一、选择题（每小题5分，共50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

D

B

C

A

D

B

D

C

C



10．提示：根据直线与圆的位置关系
,解得a∈[-4,8].由不等式
得2≤|1-a|≤4解得a∈[-3,-1]∪[3,5],由几何概型及对立事件可得
.

11．
12．9 13．
14．19 15．②④.

15．提示：数形结合可得:当a>
时无零点;当a=
时有4个零点;当0

16．解：在ΔABCD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos60o,

即BD2-5BD-24=0,解得BD=8.（6分）

在ΔBCD中,由正弦定理得:
.（12分）

17．解：（1)事件总体中有10个基本事件:(123)(124)(125)(134)(135)(145)(234)(235)

(245)(345),满足条件的有4个:(123)(135)(234)(345),故所求概率为
.（6分）

（2）设“三张卡片所标数字之积为偶数”为事件M,含9个基本事件(除(135)外)，“三张卡片数字之和为奇数”为事件N,则M?N含3个基本事件((124)(234)(245)),故所求条件概率为
.（12分）

18．（1）证明：因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60o,且E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,所以AE⊥AD.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD.于是AD⊥平面PAE,进而可得AD⊥PE.（6分）

（2）证明提示：取AD的中点G,连结FG、CG,易得FG∥PA,CG∥AE,所以平面CFG∥平面PAE,进而可得CF∥平面PAE.（12分.其它证法同理给分）

19．解：（1）设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知得

,即
,解得a1=d=1.故
.（6分）

（2）因为
,所以

.（12分）

20．解：（1）由已知条件知,直线
过椭圆右焦点
.又直线
不与轴重合时,可设
,代入椭圆方程,并整理得
.

设
,由根与系数的关系得
,
.

又由
得
,所以
,
.

于是
,解之得
.故直线AB的方程为
.（7分）

（2）

为定值.

（经检验，当
与轴重合时也成立） （13分）

21．解：（1）当a=-1时,
,所以f(x)在区间
内单调递减,在
内单调递增.于是f(x)有极小值
,无极大值.(4分)

（2）易知
在区间
内单调递增，所以

由题意可得
在
内无解,即
或
,解得

实数a的取值范围是
.（8分）

（3）设切点
,则切线方程为
.

因为过原点,所以
,化简得
（※）.

设
,则
,所以
在区间
内单调递增.

又
,故方程(※)有唯一实根
,从而满足条件的切线只有一条.（14分）