宁夏银川市实验中学2014届高三第三次月考数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
Ｒ是实数集，则

A．
　　 B．
　　　 C．
　　 D．以上都不对

2．已知定义在复数集C上的函数
满足
，则
等于

A．
B．0 　　 C．2 D．

3．已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 A.
B. 1 C. 2 D. 4

4．函数
的最小正周期为

A．
　　 B．
　　　 C．
　　 D．

5. 如果执行右面的程序框图，那么输出的
（　　）

A．2450

B．2500

C．2550

D．2652

6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸

（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

7．下面是关于公差
的等差数列
的四个命题:

数列
是递增数列
数列
是递增数列

数列
是递增数列
数列
是递增数列

其中的真命题为

A.
B.
C.
D.

8．已知正四棱锥的各棱棱长都为
，则正四棱锥的外接球的表面积为

A．
B．
C．
D．

9．直线
与圆
相交于M,N两点，若
，则k的取

值范围是

A.
B.
C.
D.

10．设
，
，在
中，正数的个数是

A．25 B．50 C．75 D．100

11．若函数

的图象如图所示，则

A. 1：6：5: (-8）

B. 1：（-6）：5: (-8）

C. 1：（-6）：5: 8

D. 1: 6: 5: 8

12．已知
都是定义在R上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前n项和大于62，则n的最小值为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知函数
的零点依次为
则
从大到小的顺序为_____________________

14. 已知椭圆
的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，离心率为
；双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列，离心率为
．则
_____.

15．从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是（写出所有正确的结论的编号）________

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

16. 在直角坐标平面xoy中，过定点（0,1）的直线L与圆
交于A、B两点，若动点P(x，y)满足
，则点P的轨迹方程为_____________________．

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.(本小题满分12分）

已知数列
的首项
.

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）求数列
的前项和
．

18.（本小题满分12分）

在
分别是角A、B、C的对边，

且
∥

（1）求角B的大小；

（2）设
且
的最小正周期为
求
在区间
上的最大值和最小值．

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角

形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。

（1）求证：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1-BD-A的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

设椭圆
、抛物线
的焦点均在轴上，
的中心和
的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

x

3

—2

4







y



0

—4



-





（1）求
的标准方程；

（2）设直线
与椭圆
交于不同两点
且
，请问是否存在这样的直线
过抛物线
的焦点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，且对于任意实数，恒有
。 （1）求函数
的解析式；

（2）已知函数
在区间
上单调，求实数的取值范围；

（3）函数
有几个零点？请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，直线DE交

△ABC的外接圆于F、G两点，若CF∥AB.

证明：（1）CD=BC；

（2）△BCD∽△GDB.

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

曲线
的参数方程为
（
为参数），将曲线
上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的
倍，得到曲线
.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）求曲线
和直线
的普通方程；

（2）为曲线
上任意一点，求点P到直线
的距离的最值.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知a和b是任意非零实数.

（1）求证

（2）若不等式
恒成立，求实数x的取值范围.

宁夏银川市实验中学2014届高三第三次月考数学（理）试题参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

A

C

C

D

A

B

D

B

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
14．1 15．
16．①③④⑤三、解答题：

17. 解：（Ⅰ）∵
，
，

，又
，
，数列
是以为
首项，
为公比的等比数列．…………………… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，即
，
．

设
…
， ①则
…
，②

由①②得
…
，

．又
…
．

数列
的前项和
………12分

18、解：（1）由
， 得

正弦定得，得

又B

又
又
…………..6分

（2）

由已知

………….….. 9分

当

因此，当
时，

当
，
………………..12分

19、解法一：（1）设
与
相交于点P，连接PD，则P为
中点，

D为AC中点， PD//
。 又PD平面
D，

//平面
D ……………………(４分)

（2）正三棱住
，
底面ABC。

又BDAC
BD

就是二面角
的平面角。

=
，AD=
AC=1 tan
=

=
, 即二面角
的大小是
…………………(８分)

（3）由（2）作AM
，M为垂足。 BDAC，平面
平面ABC，平面
平面ABC=AC BD平面
，

AM平面
， BDAM
BD = D

AM平面
，连接MP，则
就是直线
与平面
D所成的角。

=
，AD=1，在Rt
D中，
=
，
，
。

直线
与平面
D所成的角的正弦值为
…………………(1２分)

解法二： （1）同解法一 （2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），
（1，0，
），B（0，
，0），
（0，
，
）
=（-1，
，-
），
=（-1，0，-
）

设平面
的法向量为n=（x，y，z）

则n

n

则有
，得n=（
，0，1）

由题意，知
=（0，0，
）是平面 ABD的一个法向量。

设n与
所成角为
， 则
，

二面角
的大小是
………………. 8分

（3）由已知，得
=（-1，
，
），n=（
，0，1）

则
直线
与平面
D所成的角的正弦值为
…12分

20、解：（1）设抛物线
，则有
，据此验证5个点知只有（3，
）、（4，-4）在统一抛物线上，易求
…………..2分

设
，把点（-2，0）（
，
）代入得

解得
∴
方程为
……………5分

（2）假设存在这样的直线
过抛物线焦点（1，0）,设其方程为
设
，由
。得
…………..7分

由
消去，得
△

∴
①

②……………….9分

将①②代入（*）式，
解得
…………. 11分

存在直线
过抛物线焦点F.
的方程为：
……………….12分

21、解：（1）由题设得
，
，则
，

所以
所以
对于任意实数恒成立

.故
…………………………………………………………..3分

（2）由
，求导数得

，
在
上恒单调，只需
或
在
上恒成立，即
或
恒成立，所以
或
在
上恒成立…………………………………………………6分

记
，可知：
，
或
……….8分

（3）令
，则
. 令
，则
，列表如下.







0



1







+

0

—

0

+

0

—





递增

极大值

递减

极小值1

递增

极大值

递减





时，无零点；
或

时，有两个零点；
时有三个零点；
时，有四个零点…………………………………………………………12分

22.

【答案】（1）
，

（2）

23. 【答案】（Ⅰ）C2：
（
为参数），即C2：
，

（Ⅱ）
，由点到直线的距离公式得

24. 证明：(1)

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f (x) 得

又因为
则有2≥f(x)

解不等式 2≥|x-1|+|x-2|得