一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|0

（A）{-1} （B）{0} （C）{1} （D）{0，1}

2．在复平面内，复数
的对应点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3．已知命题：
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

4．为了得到函数
的图像，只需将函数
图像上所有的点（ ）

A．向左平行移动
个单位长度 B．向右平行移动
个单位长度

C．向左平行移动
个单位长度 D．向右平行移动
个单位长度

5．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（　　）

A.
B. C.
D.

7、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )

A．96种 B．180种 C．240种 D．280种

8．在
中，
一椭圆与一双曲线都以
为焦点，且都过
它们的离心率分别为
则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

9、定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，
为函数f(x)的导函数，

已知
的图像如图所示，若两个正数a,b满足f (2a+b)<1，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．对定义域为的函数，若存在距离为的两条平行直线
和
，使得当
时，
恒成立，则称函数
在
有一个宽度为的通道.有下列函数：①
；②
；③
；④
.其中在
上通道宽度为的函数是（　　）

A.①③ B.②③ C.②④ D.①④

第II卷（非选择题）

填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，只填结果，不要过程）

11．在二项式
的展开式中，含
的项的系数是 (用数字作答)．

12． 已知
为等比数列，若
，则
的值为

13．已知向量
满足
，
，则
的夹角为 .

14．把一枚硬币任意抛掷三次，事件
“至少一次出现反面”，事件
“恰有一次出现正面”则
.

15．若函数
在
上的导函数为
，且不等式
恒成立，又常数
，满足
，则下列不等式一定成立的是 .

①
；②
；③
；④
.

三、解答题：本大题共6小题，满分75分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数
，
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）在锐角三角形
中，若
，
，求△
的面积．

17．（本小题满分12分）在等差数列
中，
，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为，且
，
.

（1）求
与
；（2）设数列
满足
，求
的前项和
.

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥
中，
，
，
°，平面
平面
，、分别为
、
中点．

（1）求证：
∥平面
；（2）求证：
；

（3）求二面角
的大小．

19．（本小题满分12分）某次有奖竞猜活动设有、两组相互独立的问题，答对问题可赢得奖金3000元，答对问题可赢得奖金6000元．规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题，假设你答对问题、的概率依次为
．

（Ⅰ）若你按先后的次序答题，写出你获得奖金的数额
的分布列及期望
；

（Ⅱ）你认为获得奖金期望的大小与答题顺序有关吗？证明你的结论．

20．（本小题满分13分）已知椭圆两焦点坐标分别为
,
，一个顶点为
.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为
的直线，使直线与椭圆交于不同的两点
，满足
. 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）已知函数
．

（1）若曲线
在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值

（2）讨论函数
的单调性；

（3）设
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数a的取值范围．

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：根据集合交集的定义可知C正确。

考点：集合的运算。

4．A

【解析】

试题分析：
，故要得到
的图像，只需将函数
的图像向左平移
个单位长度，故选A.

考点：三角函数的图像变换.

7．C

【解析】

试题分析：根据题意，由于从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，考虑没有选上甲乙，和只选择一个人的情况来讨论，和都选上，那么符合题意的情况有
，故答案为C

考点：排列组合

点评：主要是考查了排列组合的计数原理的运用，属于基础题

8．B

10．A

【解析】

试题分析：对于①中的函数
，当
时，
，即
，取直线
与
即可，故函数
是在
上通道宽度为的函数；对于②中的函数
，当

时，结合图象可知，不存在距离为的两条平行直线
和
，使得当
时，
恒成立，故②中的函数
不是在
上通道宽度为的函数；对于③中的函数
，当
时，函数
的图象表示的是双曲线
在第一象限内的图象，其渐近线方程为
，可取直线
和直线
，则有

在
上恒成立，故函数
是在
上通道宽度为的函数；对于④中的函数

，函数
在
上增长速度较一次函数快，结合图象可知，不存在距离为的两条平行直线
和
，使得当
时，
恒成立，故④中的函数
不是在
上通道宽度为的函数.故选A.

考点：1.新定义；2.函数的图象

11、10【解析】

试题分析：网含
的项是第三项，系数为
.

考点： 二项式定理.

12．100

【解析】

试题分析：由题意可设
,则由
,得
,即
,所以
,则
,所以
,故正确答案为
.

考点：1.幂函数;2.指数、对数运算.

13．

【解析】

试题分析：由
得：
.所以
的夹角为
.

14．

【解析】

试题分析：由题意，
，
，所以
，故答案为
.

考点：条件概率.

考点：向量的模、夹角及数量积.

15．①

【解析】

试题分析：令
，
.
，因为
,所以
，即
在
上是增函数.由
得
，即
，所以
.所以①成立，③不成立；再令
，
.所以

，因为不能确定
是否大于0，所以
单调性不能确定，即不知道
与
的大小关系，所以②④不一定成立.因此本题填①.

考点：利用导数研究函数的单调性、导数的运算法则、利用函数单调性比较大小

16．（1）
（
）；（2）
．

【解析】

试题分析：（1）三角函数问题一般都是要把三角函数化为
形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为
；（2）三角形的面积公式很多，具体地要选用哪个公式，要根据题意来确定，本题中已知
，而
，因此我们选面积公式
，正好由已知条件可求出，也即求出
，从而得面积．

试题解析：（1）
， （2分）

所以，函数
的最小正周期为． （1分）

由
（
）， （2分）

得
（
）， （2分）

所以，函数
的单调递增区间是
（
）． （1分）

（2）由已知，
，所以
， （1分）

因为
，所以
，所以
，从而
． （2分）

又
，，所以，
， （1分）

所以，△
的面积
． （2分）

考点：（1）三角函数的性质；（2）三角形的面积．

17．（1）
，
；（2）
.

【解析】

试题分析：（1）由在等差数列
中，
，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为，且
，
.列出两个关于公差和公比的方程.求出共差和公比即可求出等差数列和等比数列的通项.

（2）由（1）可得等差数列
的通项公式所以可以求出前和
，又因为
所以可得数列
通项公式.再通过裂项求和可求得前项和.

试题解析：（1）设
的公差为
.

因为
所以
3分

解得
或
（舍），
. 5分

故
，
. 7分

（2）由（1）可知，
， 8分

所以
10分

故
13分

考点：1.待定系数法求通项.2.裂项求和.

18．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）先证DE//BC，根据直线与平面平行的判定定理可证
∥平面
；（2）连结PD，则PD AB．再证DE AB．根据直线与平面垂直的判定定理可得AB平面PDE，所以
；（3）以D为原点，直线AB,DE,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则
=(1，0，
)，
=(0，
，
），求出平面PBE的一个法向量
，由DE平面PAB，可得平面PAB的一个法向量为
．最后根据向量的夹角公式求解即可.

试题解析：解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，

?DE//BC ．

DE?平面PBC，BC?平面PBC，

?DE//平面PBC ． 3分

（Ⅱ）连结PD，

PA=PB，

PD AB． 4分

，BC AB，

DE AB． 5分

又
，

AB平面PDE 6分

PE?平面PDE，

ABPE ． 7分

（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB
平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．

8分

如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B(1，0，0)，P(0，0，
)，E(0，
，0) ，

=(1，0，
)，
=(0，
，
）．

设平面PBE的法向量
，

令

得
． 9分

DE平面PAB，

平面PAB的法向量为
． 10分

设二面角的
大小为
，

由图知，
，所以
即二面角的
大小为
． 12分

考点：1.直线与平面平行；2.直线与平面垂直的判定与性质；3.平面的二面角.

19．
的分布列是





















获得奖金期望值的大小与答题顺序无关．

【解析】

解：（1）按先后的次序答题，获得奖金数
的可能值是
．

，
。所以
的分布列是





















（2）按先后的次序答题，获得奖金数额的可取值为
．

所以，
，
，

由于按先后或先后的 次序答题，获得奖金期望值的大小相等．

故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关．

20．（Ⅰ）
；（Ⅱ）存在，

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可得b和c，再根据
，可求得
。即可求出椭圆方程。（Ⅱ）由点斜式设出直线方程，然后联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0，再根据韦达定理得出根与系数的关系。已知
，如用两点间距离公式，计算量非常大，故可多分析问题得到设线段
中点为P