华东师大二附中2015届暑期练习（五）

数 学 试 卷

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．
．

2．关于方程
的解为 ．

3．已知全集
，集合
，则
= ．

4．设
，向量
，
，且
，则
．

5．在
中，若
，
，
，则
．

6．在极坐标系中，
与
的交点的极坐标为 ．

7．用一平面去截球所得截面的面积为
cm2，已知球心到该截面

的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3.

8．复数
(
，且
)，若
是实数，则

有序实数对
可以是 ．（写出一个有序实数对即可）

10．设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的

方程为
．已知时间
时，观光箱A的坐标为
，则当

时（单位：分），动点A的纵坐标
关于
的函数的单调递减区间

是 ．

12．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，

只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试

中“合格”的概率依次为
，在操作考试中“合格”的概率依次为
，所有考试

是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合

格证书”的概率 ．

13．已知数列
，对任意的
，当
时，
；当
时，
，

那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．

14．对于函数
，有下列4个命题：

①任取
，都有
恒成立；

②

，对于一切
恒成立；

③函数
有3个零点；

④对任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
．

则其中所有真命题的序号是 ．

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．下列命题中，错误的是（ ）．

（A）过平面
外一点可以作无数条直线与平面
平行

（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行

（C）若直线
垂直平面
内的两条相交直线，则直线
必垂直平面

（D）垂直于同一个平面的两条直线平行

17．若曲线
上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．

（A）
（B）

（C）
（D）

18．已知等差数列
的前
项和为
，向量
，
，

，且
，则用
表

示
（ ）．

（A）
????? （B）
?????? （C）
???? （D）

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分．

如图，在体积为
的正三棱锥
中，
长为
，
为棱
的中点，求

（1）异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）正三棱锥
的表面积．

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．

为了寻找马航
残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口
出发，沿北偏东
角的射线
方向航行，而在港口北偏东
角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛
，
海里，且

.现指挥部需要紧急征调位于港口
正东
海里的
处的补给船，速往小岛
装上补给物资供给科考船．该船沿
方向全速追赶科考船，并在
处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线
围成的三角形
的面积
最小时，这种补给方案最优.

（1）求
关于
的函数关系式
；

（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．

设椭圆
的中心和抛物线
的顶点均为原点
，
、
的焦点均在
轴上，过
的焦点F作直线
，与
交于A、B两点，在
、
上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求
，
的标准方程；

（2）若
与
交于C、D两点，
为
的左焦点，求
的最小值；

（3）点
是
上的两点，且
，求证：
为定值；反之，当
为此定值时，
是否成立？请说明理由.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知曲线
的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线
相交，另一个交点记为
，过
作斜率为
的直线与曲线
相交，另一个交点记为
，过
作斜率为
的直线与曲线
相交，另一个交点记为
，……，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线
相交，另一个交点记为
，设点
（
）．

（1）指出
，并求
与
的关系式（
）；

（2）求
（
）的通项公式，并指出点列
，
，…，
，… 向哪一点无限接近？说明理由；

（3）令
，数列
的前
项和为
，设
，求所有可能的乘积
的和．

参考答案与评分标准

一. 填空题1．
； 2．2； 3．
； 4．
； 5．
； 6．
； 7．
； 8．
或满足
的任意一对非零实数对； 9．
； 10．
； 11．4； 12．
； 13．39366（
） 14．①③?．

二. 选择题 15． B； 16． A； 17．C； 18． C

三.解答题19. 解：（1）过点
作
平面
，垂足为
，则
为
的中心，由
得
（理1分文2分）

又在正三角形
中得
，所以

……………………………（理2分文4分）

取
中点
，连结
、
，故
∥
，

所以
就是异面直线
与
所成的角．（理4分文6分）

在△
中，
，
，…………………（理5分文8分）

所以
．…………………（理6分文10分）

所以，异面直线
与
所成的角的大小为
．……（理7分文12分）

（2）由
可得正三棱锥
的侧面积为

…………………（理10分）

所以正三棱锥
的表面积为

． …………………………（理12分）

20.解：（1）由已知，
………（2分）

………（4分）

=
.………………………………………………（6分）

（2）
……………………（8分）

………………………（10分）

，
，
……（12分）

……………………（14分）

21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）

则直线OZ的方程为
，设点A（x0，y0），则
，
，即A（900，600）， …………………（3分）

又B（m，0），则直线AB的方程为：
，…………（4分）

由此得到C点坐标为：
，…（6分）

…（8分）

（2）由（1）知
…（10分）

………（12分）

所以当
，即
时，
最小，

（或令
，则

，当且仅当
时，
最小）

∴征调
海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）

22．解：（1）
在椭圆上，
在抛物线上，

：
…………………（4分）

（2）(理)

=
.

是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线
的斜率存在时，

设
：
,
，

联立方程
，得
，
时
恒成立.

（也可用焦半径公式得：
）………………（5分）

联立方程
，得
，
恒成立.

, ……（6分）

=
. ………………（8分）

②当直线
的斜率不存在时，
：
，

此时，
，
，
=
.……………………………（9分）

所以，
的最小值为
. ……………………………（10分）

（文）