河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测(一)

数学（理）试题

（满分：150分，测试时间：120分钟）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，
，则 （ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知
，如果
是
的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

4．在等差数列
中，
=
,则数列
的前11项和
= （ ）

A．24 B．48 C．66 D．132

5．在
的展开式中，系数是有理数的项共有 （ ）

A.4项 B.5项 C.6项 D.7项

6．
是两个向量，
且
，则
与
的夹角为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，

则不同的安排方法共有 （ ）

A.36种 B. 30种

C. 24种 D. 6种

8．如图给出的是计算
的值的一个

程序框图，则判断框内应填人的条件是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（　　）

A.
B.
C. ( 1 , 16 ) D.

10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，

则该几何体的外接球半径为 （　 　）

A.
B.

C.
D.

11．若圆C:
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是 （ ）

A. 2 B. 4 C. 3 D.6

12．已知定义在
上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
，（其中
为
的前
项和），则
( )．

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分 。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．直线
与抛物线
所围图形的面积等于_____________

14．已知函数
的图像为曲线C，若曲线C存在与直线
垂直的切线，则实数m的取值范围是_____________

15．已知双曲线
的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为　_______　．

16．已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍（纵坐不变），得到函数
的图象，则关于
有下列命题:

①函数
是奇函数；

②函数
不是周期函数；

③函数
的图像关于点(π，0)中心对称；

④ 函数
的最大值为
. 其中真命题为____________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

17. （本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别是
，已知
.

（Ⅰ）若
的面积等于
，求
；（Ⅱ）若
，求
的面积.

18．（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为
，乙队每人答对的概率都是
．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用
表示甲队总得分．

（I）求随机变量
的分布列及其数学期望E
；

（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
，求k的值.

20．（12分）已知椭圆C1：
和动圆C2：
，直线
与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．

（I）求
的取值范围；

（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数
（
）.

（Ⅰ）若函数
在定义域内单调递增，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
，且关于
的方程
在
上恰有两个不等的实根，

求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设各项为正数的数列
满足
，
（
），

求证：
.

选考题：共10分，请考生从给出的3道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号方框涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡指定位置答题。如果不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于⊙
,
是⊙
的直径，
于点
,
平分
.

（Ⅰ）证明：
是⊙
的切线

（Ⅱ）如果
,求
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的直角坐标方程为
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
是曲线
上一点，
，将点
绕点
逆时针旋转角
后得到点
,
,点
的轨迹是曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程.

（Ⅱ）求
的取值范围.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设不等式
的解集为
,
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小，并说明理由.

参考答案

一、选择题：

BDBDA CBCBC BC

二、填空题：

13．
14.

15.
16.③

三、解答题：

17.解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得

又
，得
……3分

联立
解得
……5分

（Ⅱ）由题意得，

即
. ……7分

的面积
……9分

当
，由正弦定理得
，

联立方程
解得

所以
的面积
，综上，
的面积为
.……12分

18.解：（1）
的可能取值为0，1，2，3

;
;

;
……4分

的分布列为

0

1

2

3

















……6分

(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B

则
;……8分

……10分

……12分

19.解：

（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.

∵AB∥DE，AB
DE
3k，∴四边形ABED为平行四边形， ……2分

∴BE∥AD且BE
AD
4k.

在△BCE中，∵BE
4k，CE
3k，BC
5k，∴BE2＋CE2
BC2，

∴∠BEC
90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ……4分

∵AA1⊥平面ABCD，CD
平面ABCD，

∴AA1⊥CD．又AA1∩AD
A，

ADD1A1. ……6分

（Ⅱ）以D为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以

，

，

．

设平面AB1C的法向量n
(x，y，z)，

则由
得

取y
2，得
．　……9分

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

sin θ
|cos〈
，n〉|



，

解得k
1，故所求k的值为1. ……12分

20.解：（Ⅰ）由

，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0，……2分

从而m2=1+4k2 ①

由
，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．

由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0，……4分

从而m2=r2（1+k2） ②

由①、②得k2=
．

由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．……6分

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知

x1=﹣
=﹣
，x2=﹣
=﹣
．

|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）?
=
?k2?（4﹣r2）2

=
?（4﹣r2）2=
，……9分

所以|AB|2=5﹣（r2+
）（1≤r＜2）．

因为r2+
≥2×2=4，当且仅当r=
时取等号，

所以当r=
时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．……12分

解：（Ⅰ）函数的定义域为
，

，依题意
在
时恒成立，

则
在
时恒成立，即
，

当
时，
取最小值-1，所以
的取值范围是
……4分

（Ⅱ）
，由
得
在
上有两个不同的实根，

设

，
时，
，