河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测(一)

数学（文）试题

（满分：150分，测试时间：120分钟）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合
，
，则( )

A.A
B B.A
B C.A
B D.A
B

2.已知复数
，则
=( )

A.
B.
C.
D.

3.已知
，如果
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

4.在等差数列
中，
=
,则数列
的前11项和
=（ ）．

A．24 B．48 C．66 D．132

5. 设
，函数
在区间
上的最大值与最小值之差为
，则
（ ）

A．
B．2 C．
D．4

6．
是两个向量，
,且
,则
与
的夹角为（　　）

A．30° B.60° C.120° D.150°

7．过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点，点
是原点，若
，则
的面积为（ ）

A.
B.

C.
D.

8．如图给出的是计算
的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )

A．
B．
C．
D．

9．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点
在△ABC内部，则
的取值范围是( )

A．(1－，2) B．(0，2)

C．(－1，2) D．(0，1+)

10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，

则该几何体的体积为（　　）

A.48 B.72

C.12 D.24

11.若圆C:
关于直线

对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是（ ）

A. 2 B. 4 C. 3 D.6

12．已知定义在
上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
，（其中
为
的前
项和），则
( )．

A．
B．
C．
D．

二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知
，则
.

14. 已知函数
的图像为曲线C，若曲线C存在与直线
垂直的

切线，则实数
的取值范围是_______.

15．已知双曲线
的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足

为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为　　．

16.已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，则关于
有下列命题，

①函数
是奇函数；

②函数
不是周期函数；

③函数
的图像关于点
中心对称；

④函数
的最大值为
.

其中真命题是_________.

三、非选择题：包括必考题和选考题两部分 。第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

17.（本小题满分12分）在
中，角
所对的边分别是
，已知
.

(1)若
的面积等于
，求
；

(2)若
，
，求
的面积.

18．（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

（2）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在
之间的概率；

（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．

19.（本小题满分12分）在四棱锥
中，
，

平面
，
为
的中点，
，
．

(1) 求四棱锥
的体积
；

(2) 若
为
的中点，求证：平面
平面
．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
和动圆
，直线
：
与
和
分别有唯一的公共点
和
．

(1)求
的取值范围；

(2)求
的最大值，并求此时圆
的方程．

21. （本小题满分12分）已知函数
。

(1)若曲线
与
在公共点
处有相同的切线，求实数
的值；

(2)若
，求方程
在区间
内实根的个数（
为自然对数的底数）.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是圆
内两弦
和
的交点，过
延长线上一点
作圆
的切线
，
为切点，已知
．求证：

(1)
∽
；

(2)
∥
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，
为极点，点
（2，
），
（
）．

(1)求经过
，
，
的圆
的极坐标方程；

(2)以极点为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆
的参数方程为
是参数，
为半径），若圆
与圆
相切，求半径
的值．

24．（本小题满分
分）选修4-5：不等式证明选讲．

已知函数
．

(1)求
的解集；

(2)设函数

，若
对任意的
都成立，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题：

1.B 2. A 3. B 4. D 5. D 6．C 7.B 8．C 9． A 10.D 11.B 12.C

二、填空题：

13. 3 14.
15.
16. ③

三、解答题：

17. 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得

又
，得
……3分

联立
解得
……5分

（Ⅱ）由题意得，

即
，
又

……9分

的面积
……12分

18．解：（1）分数在
的频率为
，由茎叶图知：分数在

之间的频数为
，所以全班人数为
， ………2分

∴分数在
之间的人数

为
人. 则对应的频率为
， ………3分

所以
间的矩形的高为
． ………4分

（2）将
之间的
个分数编号为
，
之间的
个分数

编号为
，在
之间的试卷中任取两份的基本事件为：
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
共
个． ………6分

其中，至少有一份在
之间的基本事件有
个，故至少有一份分数在
之间的概率是
． ……8分

（3）全班人数共
人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：

分数段













频率













………10分

所以估计这次测试的平均分为：

．………12分

19解：(1)在
中，
，
，

∴
…………2分

在
中，
，
，

…………………………………4分

∵
,

………………………………………………………6分

证: (2)∵
， ∴
…………………………………7分

又
，

∴
， …………………………………………………………8分

∵
，∴
//

∴
…………………………………………………………………10分

，∴
…………………………………12分

20.解：（I）由
得
.

21. 解：（1）

则
………5分

（2)

设
，

，令
………7分























极大





所以，原问题
………10分

又因为

设
（
）

所以