韶关市2015届高三模拟底考试

数学（文科）试卷

说明：

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

方差公式：
个数据
、
、


的方差

是数据
、
、


平均数.

锥体体积：设锥体底面积为
，高为
，则锥体体积公式为
.

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．设集合
,则
等于

A．
B．
C．
D．

2．已知
为虚数单位，复数
的模
＝

A. 1　　　 B.
　　　　　 C．
　　　　 D.3

3．下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的函数是

A．
B．
C．
D．

4.如图右所示，该程序运行后输出的结果为

A．4　　　 B．6 C．8 D．10

5．在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

A.5和1.6 B．85和1.6 　C. 85和0.4 D. 5和0.4

6．在
中，若
，则
（ 　）.

A．
B．
C．
D．

7. 已知向量
,
，若
，则
等于

A．
B．
C．4 D．2

8．已知
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为

A．
B．
C．
D．

9．设
为直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

10. 下列命题中是假命题的个数是

①
；

②

③若
，
是两个非零向量，则“
”是“
”的充要条件；

④ 若函数
，则
且
，使得

A．
B．
C．
D．

二．填空题：（本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．）

（一）必做题（11～13题）

11.函数
的定义域是________．（结果用区间表示）

12．如图，已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，过抛抛线焦点
的直线交该抛物线于
两点，
，则
__________;直线
斜率等于_________.

13. 已知各项不为零的等差数列
满足
，数列
是等比数列，且
，则
=________.

（二）选做题（14~15题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知直线
方程为
，点
的坐标为
，则点
到
的距离
为____________．

15．（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：2，△AEF的面积为1cm2,则平行四边形ABCD的面积为__________cm2.

三．解答题（本大题共6题，满分80解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

16．（本小题满分１２分）

已知函数
(
R)

求
的值；

求
在区间
上的最大值和最小值及相应的
值.

17．（本小题满分１２分）

2014年春节期间，高速公路车辆剧增．高速公路管理测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查，将它们的车速(km/h)分成六段「80,85），［85，90），[90，95），「95，100），［ 100 ，105）．［105,110）后得到如下图的频率分布直图．

（1) 测控中心在采样中，用到的是什么抽样方法？并估计这40辆车车速的平均数；

(2) 从车速在［80,90)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在［85,90)的车辆数的概率

参考数据：

18． （本小题满分１4分）

如图，长方体
的底面是正方形，
，
，线段
上有两个点
，
.

（１）证明：
；

（２）证明：
；

（３）若
,
是线段
上的点，且
，求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
的焦点在
轴上，中心在原点，离心率
，直线
：
与以原点为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆
相切．

（1） 求椭圆
的方程；

（2） 设椭圆
的左、右顶点分别为
，点
是椭圆上异于
的任意一点，设直线
的斜率分别为
，
证明
为定值．

20．（本小题满分14分）

已知数列
的首项
，前
项和为
，
，
.

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设
，求数列
的前
项和
，并证明：
．

21. （本小题满分14分）

已知函数
．

（1）若曲线
与
在公共点
处有相同的切线，求实数
的值；

（2）若
，设函数
，试讨论函数
的单调性；

（3）若
，求方程
在区间
内实根的个数（其中
为自然对数的底数）．

参考解答和评分标准

一、选择题：ACAＢB BDBDB

1. 提示：因为
，所以

，故选A

2解答：因为z＝i（2一i）
, 故选C

3. 提示：A选项中，函数
是奇函数又在
单调递增；B选项中，
是非奇非偶函数，；C选项中，
是奇函数，但在
上是减函数；D选项中，
是非奇非偶函数．故选A.

4 提示：第1次循环，S=2，i=5;第2次循环，S=4，i=4;第3次循环，S=6，i=3,不满足i≤3，退出循环，输出的结果为14，故选B．

5. 提示
，故选B．

6. 提示：由正弦定理得：
,选B

7. 提示：因为
，所以
,所以
　故选D

8. 提示:画出约束区域可得：
,所以选B

9. 提示：由判断定理和性质定理可知D正确，故选D

10. 提示：只有第④个是假的，故选B

二、填空题：

11.
, 12.
, 13.
,14.
,15.

填空题 提示：

11. 提示:由
．

12. 提示：由抛物线定义，
，所以
，
　

因为点
在
轴上方，所以
,

13. 提示：因为
等差数列，所以
，所以

所以

14. 提示： 化直角坐标方程，直线
，点
，距离

15. 提示：设
，则
，
，
，　
，
，
　所以，平行四边形ABCD的面积为

三、解答题

16解（1）


………………… 2分

…………………4分

……………………………………………………… 6分

（2）

………………… 7分

…………………8分

从而当
时，即
时

………………… 12分………………… 10分

而当
时，即
时

…………………12分

另解：（１）

　　　　　　

　　　　　　
……………………………………………………… ３分

（２）
………………………………………５分

………………… ６分

…………………8分

从而当
时，即
时

………………… 12分………………… 10分

而当
时，即
时

…………………12分

17解:（1）根据“某段高速公路的车速(
)分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中,用到的是系统抽样方法.( 注意每间隔
辆就抽取一辆这一条件)…………3分

平均数的估计值为：

…………………………6分

(2)从图中可知，车速在
的车辆数为
（辆），分别记为
；车速在
车辆数为
（辆），分别记为
，从这
辆车中随机抽取两辆共有
种情况：

，
，
，
，
，
，
，
.……………………9分

抽出的
辆车中车速在
的车辆数

共6种，………………………………………………………１１分

故所求的概率
.…………………………………12分

18解：证明：（1）在
中，连接
，因为底面
是正方形

所以
………………………………………………………………1分

又
………………………3分

又
，
，又
，

…………………………………………………………5分

（2）法一：在
中，
,所以四边形
是平行四边形

所以
………………………………………………7分

所以
………………………………9分

所以
………………………………………………10分

法二：在
中，

………………10分

（3）设
与
交于点
，由（1）可知
，即

所以
是三棱锥
的高，且
…………………………12分

所以
………………………14分

19解：(1) ：由题意得
…………………………1分

两式相减得
…………………2分

所以当
时，
是以3为公比的等比数列．…………………………………3分

因为
，

所以，
，对任意正整数成立　
是首项为１,公比为３的等比数列…５分

(2)由(1得知
，
…………………………………6分

……………………………………………………………………7分

①

②

-②得
………………………9分

………………………………………………………10分

所以
……………………………………………………11分

因为
，所以
．………………………12分

又因为
，所以数列
单调递增，所以

所以
．……………………………………………………14分

20. （１）解：设椭圆的方程为

∵离心率
，

;…………2分

∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆O相切

∴b=
　∴c2=1　　∴a2=3…………5分

∴椭圆
的方程为
；…………6分

（２）证明：由椭圆
方程得
，
，

设
点坐标
，则
…………8分

∴
…………10分

∴
…………12分

∴
是定值为
．…………14分

21.解：（1）

则
………3分

（2）设

①当
时，
，所以函数
在
上单调递减；………4分

②当
时，令
，即
………………（*），

当
，即
时，
，即
，所以函数
在
上单调递减；……………………………………………………………………5分

当
，即
时，方程（*）的解为：

当
时，
，则函数
在
上单调递减；………………………………………………………………6分

当
时，
，则函数
在
上递减，在
上递增；………………………………………………………………7分

综上所述，当
时，函数
在
上单调递减； 当
时，函数
在
上递减，在
上递增. …………8分

（２）另解：

　　　

①　
时，
　所以，

　　
在
上单调递减…………………………………………５分

②
时，

………………………………………６分

当
时，
，
在
上单调递减

当
时，
，
在
上单调递增

综上所述，当
时，函数
在
上单调递减； 当
时，函数
在
上递减，在
上递增. …………8分

(3)
设
，

，令
，
时，

…………………………9分























极大





所以，
……………………………11分

又因为
　方程在
上有一个根

设
（
,
，所以
在
上单调递增，

，方程在
上有一个根

所以方程
在区间
内有两个实根…………………………14分