1．设集合
，
，则
的子集的个数是：

A．4 B．3 C ．2 D．1

2．已知复数
，
是z的共轭复数，则
=

A.
B.
C.1 D.2

3. 下列结论正确的是：

A．命题“如果
，则
”的否命题是“如果
，则
”；

B．命题
，命题

则
为假
;

C．“若
则
”的逆命题为真命题;

D. 设0＜x＜
，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的必要而不充分条件

4．函数y=cos2(2x+
)-sin2(2x+
)的最小正周期是

A．

B．2

C．4
D．

5. 如右图所示的程序框图,

输出
的结果的值为

A.

B. 0

C. 1 D.

6．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中

点，则以下结论中不成立的是（ ）

A. EF与BB1垂直 B. EF与BD垂直

C. EF与CD异面 D. EF与A1C1异面

7．已知正项等比数列{an}满足：a2 014＝a2 013＋2a2 012，且

＝4a1， 则6的最小值为： A.  B．2 C．4 D．6

8．如图，长方形的四个顶点为
，曲线

经过点
．现将一质点随机投入长
方形
中，则质

点落在图中阴影区域的概率是

A．

B．
C．
D．

9．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

A．12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种

10．过双曲线
的焦点
作渐近线的垂线
，则直线
与圆

的位置关系是：

A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定

11．若f(n)为n2＋1(n∈N＋)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17；记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N＋，则f2 012(8)＝

A．1 B．3 C．5 D．7

12．已知
都是定义在R上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前n项和大于126，则n的最小值为:

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生
都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知数列
的前
项和为
，某三角形三边之比为
，则该三角形最大角为_____________.

14. 设函数
，
是由
轴和曲线
及该曲线在点
处的切线所围成的封闭区域，则
在
上的最大值为 .

15．四面体ABCD中，共顶点A
的三条棱两两相互垂直，且其长分别为
，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为　　　　。

16. 给出以下四个命题，所有真命题的序号为___ _____．

① 定义在
上的函数
满足
，则
是周期
函数；

② 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin的图象；

③ 已知数列{an}，那么“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上
”是“{an}为等差数列”的充分不必要条件；

④ 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为
＝1.23x＋0.08

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.(本小题满分12分）

已知
且
>0，

设f(x)=
,f(x)图象相邻两对称轴之间距离为

(1)求f(x)解析式；

(2)在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C对边
，b+c=4，f(A)=1，求△ABC面积最大
值。

19. （本题满分12分）在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为
.

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为
，求
的概率分布及数学期望.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定
点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，其中

若
在x=1处取得极值，求a的值；

求
的单调区间；

（Ⅲ）若
的最小值为1，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图,在Rt⊿ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O

交AC于D,过D作DE⊥BC,垂足为E,连接AE交⊙O

于点F,求证:CE2=EF
EA.

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系
中
，以原点O为极点，以
轴正半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（1）写出曲线C的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线
的最大距离，并求出这个点的坐标。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知a和b是任意非零实数.

（1）求
的最小值。

（2）若不等式
恒成立，求实数x的取值范围.

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

D

D

B

D

C

A

B

C

C

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

1
3.
14. 2 15．

16. ①、③、④

17．（本小题满分12分
）解(1)

=
=

=

18、【解析】(I)可证
, ∵面

面ABC,从而把面面垂直转化为线面垂直.

证得
平面ACD.

(II) 取
的中点
，
的中点
,连结
,
， 然后证明
和
, 得到

二面角
的平面角
, 问题到此基本得以解决.也可利用向量法求解.

解法一：（Ⅰ）在图1中,可得
,从而
,

故
……………………………………………-3分

∵面

面
,面

面

,
面
,

从而
平面
……………………………………………6分

（Ⅱ）取
的中点
，
的中点
,连结
,

∵
是
的中点
是
的中位线,
是
的中

位线,∴
,
又（Ⅰ）可知
平面

∴
平面
∵
平面
∴

又
∴
，连结
,∵
∴
平面

又
平面
， ∴

∴
是二面角
的平面角…………
…………………………………9分

在
中，
,
,∴

∴
∴二面角
的余弦值为
.………………12分

解法二: （1）在图1中,可得
,从而
,故
……………………………………………2分

取
中点
连结
,则
,又面


面
,

面

面

,
面
,从而
平面
,…………………………4分

∴
，又
,
,∴
平面
……………………6分

（2）建立空间直角坐标系
如图所示,则
,
,


,
……8分

设
为面
的法向量,

则
即
,解得

令
,可得
……………………………10分

又
为面
的一个法向量

∴

∴二面角
的余弦值为
.…………………12分

19. （1）设事件
表示“甲选做第21题”，事件
表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“
”，且事件
、
相互独立.

∴
=
.

（2）随机变量
的可能取值为0,1,2,3,4，且
～
.

∴

∴变量
的分布列为：

0

1

2

3

4



















（或
）

20.【答案】解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

　　依题意
　解得　
∴　椭圆方程为
．　

（2）假若存在这样的k值，由

得

．

　　∴
　①设
，
、
，
，则
　　　②　而
．

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则
，即
∴
　　　　③

　　将②式代入③整理解得
．经验证，
，使
①成立．综上可知，存在
，使得以CD为直径的圆过点E．

21解（1）

∵
在x=1处取得极值，∴
解得

（2）
∵
∴

①当
时，在区间
∴
的单调增区间为

②当
时，

由

∴

（3）当
时，由（Ⅱ）①知，

当
时，由（Ⅱ）②知，
在
处取得最小值

综上可知，若
得最小值为1，则a的取值范围是

22.证明:在Rt⊿ABC中,∠ABC=900
,∴OB⊥CB,∴CB为⊙O的切线,

∴EB2=EF﹒EA连接BD,因为AD是⊙O的直径,∴BD⊥AC,又因为AB=BC,所以AD=BD=DC,

∵DE⊥BC,所以BE=CE, 所以CE2=EF﹒EA

23解：（1）曲线C：
，直线
：
。。。。。。。。。。。。
。5分

（2）
P（
） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

24. 证明：(1)

所以
的最小值为4。

(2)[-2，2]