1、已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2、复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

3、下列说法正确的是

A．若命题
都是真命题，则命题“
”为真命题

B．命题“若
，则
或
”的否命题为“若
则
或
”

C．命题“
”的否定是“
”

D．“
”是“
”的必要不充分条件

4、如图所示，程序框图的输出结果是

A．
B．
C．
D．

5、如图，若一个空间几何体的三视图，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积为

A．
B．
C．
D．

6、关于函数
的四个命题：

①
的图象关于直线
对称；②
的图象关于点
对称；

③
的最小正周期为；④
在
上为增函数，其中正确的是命题是 。

A．②③ B．①② C．②④ D．①③

7、已知函数
，则
的实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8、已知双曲线
，且其一条渐近线经过点
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

9、已知直线
与圆
交于不同的两点、，
是坐标原点，且有
，那么
的值为

A．2 B．
C．
D．4

10、已知
的内角为
，且
，则角
的大小为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值是 。

14、已知是抛物线
的焦点，是该抛物线上的一点，且点到抛物线准线的距离是2，则点的坐标为 。

15、三棱柱
的底面是边长为
的正三角形，侧棱
底面
，若球
与三棱柱
各侧面、底面均相切，则侧棱
长为 。

16、已知
，且
，若
恒成立，则实数的取值范围是 。

三、解答题：本大题共5题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（12分）已知数列
是一个等差数列，且
。

（1）求数列
的通项公式
；

（2）令
，求数列
的前项和
。

18、（12分）如图所示，在正三棱柱
中，
，是

的中点。

（1）求证：
平面
；

（2）在棱
上是否存在一点，使直线
平面
？若存在找出这个点，并加以证明；若不存在请说明理由。

19、（12分）为了解某校2013级学生数学学习状况，现从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；

（3）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段
的概率。

20、（12分）已知椭圆
的离心率为
，点
，
分别是椭圆
的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆
的短半轴为半径的圆与直线
相切。

（1）求椭圆
的方程；

（2）若过点
的直线
与椭圆
相交于
，
两点，求使
面积最大时直线
的方程。

21、（12分）已知函数
。

（1）当
时，求
在区间
上的最大值和最小值；

（2）证明：当
时，在区间
上，不等式
恒成立。

四、选考题：本小题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22、（10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
和
相交于
两点，
为
的直径，直线
交
于点
，点
为
的中点，连接
分别交
，
于点
，连接
。

（1）求证：
； （2）求证：
。

23、（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线
的参数方程为
（为参数）。

（1）求曲线
的直角坐标方程与直线
的普通方程；

（2）设曲线
与直线
相交于
两点，以
为一条边作曲线
的内接矩形，求该矩形的面积。

24、（10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
。

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为，试求的取值范围。

高三数学（文）答案

一、填空题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

C

D

D

D

A

C

A

D

C

B



二、填空题（每空5分，共20分）

13、
14、
或
15、1 16、

三、解答题

18、（1）证明：连结
交
于点
，连结
。

∵正三棱柱
∴
∵是
的中点 ∴

∴
平面

（2）过点
作
的垂线
，垂足为交
于中，易得为
的中点，

则点即为所求的点。∵
平面
∴

∵
∴
平面
。

19、（1）分数在
内的频率为

。（2分） 如图所示：

（2）平均分为
。（6分）

（3）由题意，
分数段的人数为
人；

分数段的人数为0.3×60=18人（8分） （8分）

∵在
的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴
分数段抽取2人，分别记为
；
分数段抽取4人，分别记为
。

设从样本中任取2人，至多有1人在分数段
为事件，则基本事件空间包含的基本事件有

共15种，则事件包含的基本事件有

，共9种，（10分）

∴
。（12分）

20、（1）由题意得
∴
∴椭圆
的标准方程为
（4分）

（2）由题意可设直线
的方程为
，设
，

则点
的坐标是方程组
的两组解。（5分）

∴
， ∴
（6分）

∴

（当且仅当
时取等号），（10分）

∴当
时，
取最大值，此时直线
的方程为
。（12分）

21、（1）当
时，
，对于
，有
，

∴
在区间
上为增函数，∴
，
。（5分）

（2）证明：令
，则
的定义域为
，

在区间
上，不等式
恒成立等价于
在区间
上恒成立。

∵
（5分）

∴当
时，则有
，此时在区间
上恒有
，

从而
在区间
上是减函数；则
，又
，

∴
，即
恒成立。（12分）

22、证明：（1）已知
为
的直径，连接
，则
，由点
为弧
的中点可知
，故
，所以有
，即
。（5分）

（2）由（1）知
，故
，

所以
，即
（10分）

23、（1）对于
：由
，得
，进而
。

对于
：由
（为参数），得
，即
。（5分）

（2）由（1）可知
为圆，且圆心为
，半径为2，则弦心距
，

弦长
，

因此以