广东省韶关市2015届高三模拟底考试

数学（理科）试题

说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。

2．第I卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

3.考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回．

参考公式：

第I卷 （选择、填空题 满分70分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．设全集
，则

A．{1} 　　　　B．{l,2} C．{0,1,2} 　D．{一1,0,1,2}

2．复数
满足
,其中
为虚数单位,则在复平面上复数
对应的点位（ ）

第一象限 　　
第二象限
第三象限
第四象限

３. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为（ ）.

A．
B．
C．
D．

４. 在
中，若
，则
（ 　）.

A．
B．
C．
　　 D．

5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 (　　)

A．14　　　　　　　　B．16 　 C．18 D．64

6. 设
为直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

7．现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各４张，从中任取３张，要求这３张不能是同一颜色，且红色卡片至多１张，不同的取法为（ ）

A．232种 B．252种 C．472种 D．484种

8. 列命题中是假命题的个数是（　　）

①
；

②

③
上递减

④若函数
，则
且
，使得

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．

9.函数
的定义域是________(用区间表示)．

10. 某工厂的某种型号的机器的使用年限
和所支出的维修费用
(万元)有下表的统计资料如图：

2

3

4

5

6





2.2

3.8

5.5

6.5

7.0





根据上表可得回归方程
，则
_______________.

11. 已知向量
,
,且
，则
的值为 .

12．已知
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

14. 已知
是等差数列，
是等比数列，其公比
，若
，且
和
各项都是正数，则
与
的大小关系是______________________.（填 “
”或“
”或“
”）

1４.已知抛物线

与双曲线
的右焦点重合，则抛物线
上的动点
到直线
：
和

距离之和的最小值为________________.

数学（理科）试题

题号

一

二

三









15

16

17

18

19

20



分数





















一．选择题答卷：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















二、填空题答卷：

9．____________________． 10．__________________________．

11．____________________． 12．__________________________．

13．________________________． 14．__________________________．

第Ⅱ卷（解答题 满分80）

三．解答题（本大题共6题，满分80解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

15．（本小题满分１２分）

已知函数
(
R).

（1）求
的值；

（2）求
在区间
上的最大值及相应的
值.

16．（本小题满分１２分）

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:
.

(1)求图中
的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数；

(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

17. （本小题满分１4分）

如图，在长方体
中，
=
=1，
，点E是线段AB中点.

(1)求证：
;

(2)求二面角
的大小的余弦值；

（3）求
点到平面
的距离.

18．（本小题满分14分）

已知等差数列
分别是等比数列
的第二项、第三项、第四项.

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）设数列
满足对任意的
均有
成立，求证：
.

19. （本小题满分14分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，且经过定点
，
为椭圆
上的动点，以点
为圆心，
为半径作圆
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若圆
与
轴有两个不同交点，求点
横坐标
的取值范围；

（3）是否存在定圆
，使得圆
与圆
恒相切？若存在，求出定圆
的方程；若不存在，请说明理由.

20. （本小题满分14分）

已知函数
，
.

(1)求证函数
在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若函数
有四个零点，求b的取值范围；

(3)若对于任意的
∈[－1,1]时，都有

恒成立，求
的取值范围．

参考解答和评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：，ADCBA　BCB

1． 提示：
，所以选A

2． 提示：
，对应点在第四象限，所以选D

3. 提示：由定义和图象易知，
符合题设，所以选C

4.. 提示： 由正弦定理得：

5. 提示：第1次循环，S=2，i=9;第2次循环，S=4，i=8;第3次循环，S=6，i=7，

第4次循环，S=8，i=6，;第5次循环，S=10，i=5，;第6次循环，S=12，i=4，;第7次循环，S=14，i=3，不满足i≤3，退出循环，输出的结果为14，故选A．

6. 由条件
，
，可证得
,选B

7. 提示：法１　

　　　　法２.　

８. 提示：只有第④是假，故选B

二、填空题：

9. 提示:
,
,所以定义域为
．

10. 提示：样本中心为
代入回归方程得

11. 提示：
,
,

12. 提示:如图作出可行域，可知，

13. 提示:考查等差等比的基本性质及均值不等式.
，由于
，所以
，所以
.

１4. 提示：抛物线

与双曲线
的右焦点重合，所以，
，
是抛物线准线，作
　
，由抛物线定义
，当
三点共线时，距离之和的最小，其值是
到
距离，由点到直线距离可得，其距离为
.

三、解答题

１５.　解：（1）

………………………………………………………3分

……………………………………………………… 4分

…………………………………………………………………………7分

（2）
　
………………………………………８分

从而当
时，即
时，……………………………… 10分

…………… 1２分

另解：（１）

……………3分

　（２）

……………………………………………………… ５分

………………………………………………………7分

　　
　
………………………………………８分

从而当
时，即
时，……………………………… 10分

…………… 1２分

１６. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除
外的频率和为0.70, ………………2分

估计500名志愿者中,年龄在
岁的人数为
(人).……4分

(2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名

故
的可能取值为0,1,2,3, ……………………………………………………6分

,
,
,　
,……………………………………………………………………10分

故
的分布列为

0

1

2

3















所以
. ………………………12分

17.解：(１) 证明：
面
，
面

　所以，

……………………１分

　
中，
，
　

　
　　

　同理：
，又
　，

　
……………………………………………………………3分

　

　所以，
面
………………………………………………………………4分

　又
面

　所以，
……………………………………………………………5分

(２)解法一　由（１）证可知
是所求二面角
的平面角…………６分

在
中，
，
；

故，
…………………………8分

即二面角
的大小的余弦值为
……………………………9分

解法二：利用向量法

设平面
的法向量为
，

由(１)得
，

且

解得：
,即
；…………………7分

又平面
的法向量为
，

所以，二面角
的余弦值为
. …………………………9分

（３）)解法一：
，
，
，

………………………………………10分

又
，
，
，

……………………（11分）

设
点到平面
的距离为
，则
，

解得
，即
点到平面
的距离为
. ……………（14分）

解法二：利用向量法

由(１) (２)知
，平面
的法向量为

故，
点到平面
的距离为

18. 解:（1）
的第二项、第三项、第四项.

…………..1分

…………..3分

……………………4分

又

，
…………………………7分

（2）证明：当n=1时，

…………………………8分

当

…………………………11分

………………13分

所以，对于任意的
………………14分

19. （1）由椭圆定义得
，……………………………………… 1分

即
， ……………………… 2分

∴
，又
， ∴
.……………………………………… 3分

故椭圆
的方程为
…………………………………………………4分

（2）圆心
到
轴距离
，圆
的半径
，

若圆
与
轴有两个不同交点，则有
，即
，

化简得
.…………………… …………………………… 6分

点
在椭圆
上，∴
，代入以上不等式得：

，解得：
. ……………………………………… 8分

又
，∴
，即点
横坐标的取值范围是
. ……9分

（3）存在定圆
与圆
恒相切，

其中定圆
的圆心为椭圆的左焦点
，半径为椭圆
的长轴长4. ……………………12分

∵由椭圆定义知，
，即
，

∴圆
与圆
恒内切. …………………………………………………………… 14分

20. 解：(1)证明∵f(x)＝ax＋x2－xln a，

∴f′(x)＝ax·ln a＋2x－ln a＝(ax－1)ln a＋2x. …………………………………2分

∵a>1，x>0，∴ax－1>0，ln a>0,2x>0，∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，

即函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增…………………………………4分

(2)解：由(1)知当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

∴f(x)取得最小值为f(0)＝1…………………………………5分

由
－3＝0，得f(x)＝b－＋3或f(x)＝b－－3，

∴要使函数y＝
－3有四个零点，只需
………………7分

即b－>4，即>0，解得b>2＋或2－

故b的取值范围是(2－，0)∪(2＋，＋∞) ………………………………8分

(3)解：由(1)知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

f(－1)＝＋1＋ln a，f(1)＝a＋1－ln a，∴f(1)－f(－1)＝a－－2ln a

令H(x)＝x－－2ln x(x>0)，则H′(x)＝1＋－＝＝>0，

∴H(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵a>1，∴H(a)>H(1)＝0.

∴f(1)>f(－1)

∴|f(x)|的最大值为 f(1)＝a＋1－ln a，……………………………………12分

∴要使

恒成立，只需a＋1－ln a≤e2－2即可

令h(a)＝a－ln a(a>1)，h′(a)＝1－>0，∴h(a)在(1，＋∞)上单调递增．

∵h(e2)＝e2－1，∴只需h(a)≤h(e2)，即1

故a的取值范围是(1，e2] …………………………………………………14分