贵州省遵义航天高级中学2014届高三第十二次模拟考试数学（理）试题

第卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知复数满足
（为虚数单位），则z的值为 ( )

A． B.
C. 1 D. －1

4.设
是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若
且
则∥”为真命题的是 ( )

A.为直线,
为平面 B.
为平面

C.
为直线,为平面 D.
为直线

5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )

A．
B．
C．
D．

6若实数
满足不等式组
则
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A，B是图像上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则
·
的值为（ ）

A.π B.π2＋1 C.π2－1 D.π2－1

8．已知正项数列
满足
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设
，则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点、.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A. 4 B.

C.
D.

12.函数f（x）＝
（k＞0）有且仅有两个不同的零点
，（
＞），则以下有关两零点关系的结论正确的是（ ）

A．sin＝cos
B．sin＝－cos
C．sin
＝
cos D．sin
＝－
cos

第卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在
的二项展开式中，的系数为

14.若将圆
内的正弦曲线
与x轴围成的区域记为M,则在圆内随机放一粒豆子，落入M的概率_______

15．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

16．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为________

三、解答题（本大题共6个大题,总分70分）

17、（本题满分12分）已知数列
的前n项和为
，并且满足

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，当
时，求证：
.

18、（本题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

ξ

 3

 4

 5

 6

 7

 8



 件数

 9

 6

 6

 3

 3

 3



该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品。

（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

已知该厂生产一件一等品的利润为10元，生产一件二等品或三等品的利润为2元。

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从该厂生产的产品中任取三件，其总利润记为Y，求Y的 平均值．

19、（本题满分12分）如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA 平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN

(1)
;

(2)若
,求BO与平面MAC所成角的正弦值.

20、（本题满分12分）已知A,B分别为轴，轴上的两个动点，且
，动点P满足

(1)求点P的轨迹E的方程；

（2）已知点M（1,0），直线
与曲线E交于点C、D两个不同的点，以MC,MD为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.

21.（本题满分12分）已知函数
，

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
上恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，任意的
，证明：

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题计分。

22、（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.

(1)求证：DC是⊙O的切线；

(2)求证：AM·MB＝DF·DA.

23、（本题满分10分）以直角坐标系
的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知点N的极坐标为
是曲线
上任意一点，点P满足
,设点P的轨迹为曲线Q

（1）求曲线Q的直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线Q的交点为A、B，求|AB|的长.

24、（本题满分10分） 已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)

(1) 当m＝5时，求函数f(x)的定义域；

(2) 若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R，求m的取值范围．

理科数学答案

一、选择题

DDACC DCCAB BD

二、填空题

13． -40

14. _
__

15． ____．

16．

三、解答题（本大题共6个大题）：

17：解：当
，两式相减，化简得

因为
所以

（2）
，所以

当
时，
故

18．

解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件

∴一等品的频率为
，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2﹣﹣﹣﹣（2分）

二等品的频率为
，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；﹣﹣﹣﹣（4分）

三等品的频率为
，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0. 5．﹣﹣（6分）

设取得一等品件数为x，则有Y=10x+2（3-x）=8x+6.-----------------7分

x的分布列为

x

0

1

2

3



P（x）

0.512

0.384

0.096

0.008



-----------------------------------------------------------------------9分

即x--B(3,0.2)∴E(x)=0.6 ----------------------------------------------11

E(Y)=8E(x)+6=10.8元-----------------------------------12











或者





Y

6

14

22

30



P（Y）

0.512

0.384

0.096

0.008



 E(Y)=300.008+220.096+140.384+60.512=10.8

19、（1）证明：略

（2）

20、解：设

由
得

，解得

（2）设

由
，韦达定理

设线段CD中点为

因为四边形是菱形，所以
，代入化简得

代入

解得

21.【解析】（1）

当
时，
，函数
在
上为增函数；

当
时，令
，可得
，令
，可得
，所以函数
在
上为增函数，在
上为减函数------------------（5分）

（2）方法1：由（1）可知，当
时，
不恒成立；

当
时，
，要使
恒成立，即

令
，
，可得
时，
为减函数，
时，
为增函数，所以
，所以
. m的取值范围是
-------（10分）

方法2：即
在
上恒成立，当x=1时，成立。

当x>1时，
在
上恒成立， 令
，则
，令
则
，
在
为减函数，


在
为减函数，
m1

同理当x<1时，
在
上恒成立，得m1

m=1

（3）因为
，不妨令
，则

由（2）知
，可得
，
，得

所以
-------------------------------（12分）

22证明：(1)连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC.

又∵CA是∠BAF的平分线，

∴∠DAC＝∠OAC.

∴∠DAC＝∠OCA.

∴AD∥OC.又CD⊥AD， 

∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线

(2)∵CA是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，

∴CD＝CM.

由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，

∴AM·MB＝DF·DA.

23、 解：由已知曲线
得

所以直角坐标方程为
，又点N的直角坐标为

设
，由
得

所以
得

所以曲线Q的直角坐标方程为

（2）把直线
和曲线
联立得

24. 解：(1) 由题设知|x＋1|＋|x－2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组：或或解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

(2) 不等式f(x)≥1即|x＋1|＋|x－2|＞m＋2.∵ x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，要使不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，∴ m＋2≤3，∴ m的取值范围是(－∞，1]．