惠州市2015届高三第一次调研考试

数 学 (理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．复数
（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）

2．已知集合
，
，则下列结论正确的是（ ）

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为
人，现用分层抽样的方法从该

校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

4．已知等差数列
的前项和为
，若
，则
( )

5．在二项式
的展开式中，含
的项的系数是（ ）

6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

7．已知
都是区间
内任取的一个实数，则使得
的取值的概率是（ ）

8．已知向量
与
的夹角为
，定义
为
与
的“向量积”，且
是一个向量，它的

长度
，若
，
，则
（ ）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9． 函数
的定义域是 .

10．以抛物线
的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .

11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.

12．设变量
满足
，则
的最大值是 .

13．函数
的定义域为，
，对任意
，
，则
的解

集为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，
分别是直线
和

圆
上的动点，则
两点之间距离的最小值是 .

15．(几何证明选讲选做题)如图所示，
是等腰三角形，

是底边
延长线上一点，

且
，
，则腰长
= .

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知
.

(1)求
的值；

(2)求
的值．

17．（本小题满分12分）

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

（注：设样本数据第组的频率为
，第组区间的中点值为

，则样本数据的平均值为
.）

(3) 如果空气质量指数不超过
，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取
天的数值，其中达到“特优等级”的天数为
，求
的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，平面
侧面
，且

(1) 求证：
；

(2) 若直线
与平面
所成的角为
，求锐二面角
的大小。

19．（本小题满分14分）

已知数列
中，
，前项和
．

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设数列
的前项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数都

成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

椭圆

的离心率为
，其左焦点到点
的距离为
．

(1) 求椭圆
的标准方程；

(2) 若直线
与椭圆
相交于
两点(
不是左右顶点)，且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分14分）

已知关于的函数
，其导函数为
．记函数
在区间
上的最大值为
．

(1) 如果函数
在
处有极值
，试确定
的值；

(2) 若
，证明对任意的，都有
；

(3) 若
对任意的
恒成立，试求
的最大值．

惠州市2015届高三第一次调研考试

数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

C

B

D

A

C

A

D





1. 【解析】化简得
，则虚部为
，故选

2. 【解析】已知集合


,故选

3. 【解析】三个年级的学生人数比例为
，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人

数为
人，故选

4. 【解析】由题意
，等差数列中
，所以
，故选

5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为
，则
得
，所以含
项

的系数为
，故选

6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，

如图
，故选

7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数
的图像在
内与轴围成的图形的面积，即
，则事件A的概率为
，故选

8.【解析】由题意
，则
，
，得
，由定义知
，故选

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．
10．
11．12 12．
13．
14．
15．

9. 【解析】由
得
，则定义域为：

10．【解析】抛物线焦点
，则双曲线中：
，且
，得
，又
得
，

则双曲线的标准方程为：

11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，

当末位是时，前三位将，
，三个数字任意排列，则

有
种排法，末位为时一样有
种，两类共有：

种，故共有没有重复数字的偶数
个。

12．【解析】由约束条件画出可行域如图所示，

则目标函数
在点
取得最大值， 代入得
，故
的最大值为
。

13．【解析】设函数
，则
，得函数
在上为增函数，

且
，所以当
时，有
，得
，

故不等式
的解集为

14．【解析】由题意，直线
，圆的标准方程
，则圆心
到直线
的距离为
，且圆半径
，故

15．【解析】以
为圆心，以
为半径作圆，则圆
经过点，即
，设
与圆
交于

点
且延长
交圆
与点，由切割线定理知
，即
，

得
，所以

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（1）∵
，则
-------------------------1分

∴?
---------------------------2分

∴?
----------------------------4分

?
----------------------------5分

（2） 原式
---------------------------7分

? ? ? ----------------------------9分

------------------------------10分

? ------------------------------11分

------------------------------12分

17．（本小题满分12分）

(1) 解：由题意，得
， ……………1分

解得
. ……………2分

（2）解：
个样本中空气质量指数的平均值为

……………3分

由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为
. …………4分

（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“特优等级”，

且指数达到“特优等级”的概率为
，则
. ……………5分

的取值为
， ……………6分

，
，

，
. ……………10分























 ∴
的分布列为：

……………11分

∴
. ……………12分

（或者
）

18．（本小题满分14分）

解：（1）证明：如右图，取
的中点，连接
， ……………1分

因
，则
……………2分

由平面
侧面
，且平面

侧面

，…………3分

得
，又
平面
，

所以
. …………………4分

因为三棱柱
是直三棱柱，

则
，

所以
.

又
，从而
侧面
，

又
侧面
，故
. ………………7分

（2）解法一：连接
，由（1）可知
，则
是
在
内的射影 ∴
即为直线
与
所成的角，则
…………8分

在等腰直角
中，
，且点是
中点

∴
，且
，

∴
…………………9分

过点A作
于点，连

由（1）知
，则
，且

∴
即为二面角
的一个平面角 …………………10分

且直角
中：

又
，

∴
，且二面角
为锐二面角

∴
，即二面角
的大小为
…………………14分

解法二（向量法）：由（1）知
且
，所以以点为原点，以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
，如图所示，且设
，则

，
，
，

，
，
，
……9分

设平面
的一个法向量

由
，
得：

令
，得
，则
…………10分

设直线
与
所成的角为
，则

得
，解得
，即
………12分

又设平面
的一个法向量为
，同理可得，

设锐二面角
的大小为，则

，且
，得

∴ 锐二面角
的大小为
。 …………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）（解法一）∵

∴

∴

…………………3分

整理得

∴

两式相减得
………………5分

即

∴
，即
…………………7分

∴ 数列
是等差数列

且
，得
，则公差

∴
…………………8分

（解法二） ∵

∴

∴

…………………3分

整理得

等式两边同时除以
得
， …………………5分

即
…………………6分

累加得

得
…………………8分

（2） 由（1）知

∴

…………………10分

∴

…………………12分

则要使得
对一切正整数都成立，只要
，所以只要

∴ 存在实数
，使得
对一切正整数都成立，且
的最小值为
…………14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）由题：
①

左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = ② …………………2分

由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． ………………3分

∴所求椭圆 C 的方程为 ． ………………4分

（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得

(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．

∴x1 + x2 = －，x1x2 = ， ………………6分

且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．

∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 ?= 0． ………………7分

所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)

= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4

= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ． ………………10分

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －k 或 m = －2k 都满足 △ > 0． ………………12分

若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；………13分

若 m = －k 时，直线 l 为 y = kx－k = k (x－)， 恒过定点 (,0) ． ……………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1） ∵
，由
在
处有极值
，可得

，解得，
或
…………………2分

若
，
，则
，此时函数
没有极值；…3分

若
，
，则
,此时当变化时，
，
的变化情况如下表：





























↘

极小值

↗

极大值

↘



 ∴ 当
时，
有极大值
，故
，
即为所求。 ………………4分

（2）证法一：

当
时，函数
的对称轴
位于区间
之外

∴
在区间
上的最值在两端点处取得，故
应是
和
中较大的一个

∴

，即
…………8分

证法二（反证法）：因为
，所以函数
的对称轴
位于区间
之外，

∴
在区间
上的最值在两端点处取得，故
应是
和
中较大的一个，

假设
，则
，将上述两式相加得: ………………6分

,得
，产生矛盾，

∴
…………………………8分

（3）

（i）当
时，由（2）可知
； ………………9分

（ii）当
时，函数
的对称轴
位于区间
之内，

此时
，由
，有

① 若
，则
，则
，

于是

…………………………11分

② 若
，则
，则

于是

…………………………13分

综上可知，对任意的
、都有

而当
，
时，
在区间
上的最大值
，故
对任意的
、恒成立的
的最大值为
。 …………………………14分