广东省惠州市2015届高三第一次调研考试

数学试题(文科）

（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式
，其中
为柱体的底面积，
为锥体的高．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1．复数
（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.命题“
”的逆否命题是（ ）

A.
B.若
，则

C.若
或
，则
D.若
或
，则

5．若向量

则

A.
B.
C.
D.

6．若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：















那么方程
的一个最接近的近似根为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）

A．
B． C． D．

（7题） （8题）

8．函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是 （ ）

A．
B.
C.
D.

9．若双曲线
的离心率为
，则其渐近线的斜率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）

（一）必做题（11～13题）

11. 计算
．

12．变量、满足线性约束条件
，

则目标函数
的最大值为 .

13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系
中圆的参数方程为：
，（为参数），以
为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：
，则圆截直线所得弦长为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆的直径，

是圆的切线，切点为，
平行于弦
，

若
，
，则
.

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）设函数

（1）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（2）当
,且
时,求
的值.

17．(本题满分12分)

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50





（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？

（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.

18．（本小题满分14分）

如图所示的多面体中，
是菱形，
是矩形，

面
,
．

（1）求证:
.

（2）若

19．（本小题满分14分）

已知等差数列
的首项
公差
且
分别是等比数列
的

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设数列
对任意正整数均有
成立，求
的值.

20.（本题满分14分）

已知椭圆

的离心率为
，过
的左焦点
的直线
被圆
截得的弦长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
的右焦点为
，在圆
上是否存在点，满足
,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，讨论
的单调性.

广东省惠州市2015届高三第一次调研考试

数学试题(文科）答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

D

B

C

B

A

B

C





1. 【解析】化简得
，则虚部为
，故选

2．C【解析】
，
，所以
,故选C.

3．【解析】根据奇函数的定义可知A正确。

4．【解析】由逆否命题的变换可知，命题“若
，则
” 的逆否命题是“若
或
，则
”，故选D.

5．【解析】

6．【解析】因为
，
，由零点存在定理知，最接近的近似根为
.

7．【解析】程序执行过程中，
的值依次为
；
；
；

；
；
；

，输出的值为16.

8．【解析】由图知
在
时取到最大值
，且最小正周期满足

故


，

.所以

或由
逐个检验知

9．【解析】试题分析：双曲线的离心率
，所以
，其渐近线的方程为
，其斜率为
，故选B.

10.【解析】　由偶函数定义可得
是偶函数，故
，原不等式等价于
，又根据偶函数定义，

，函数
在
单调递增，
，
．或利用图象求范围．选C.

11. 2 12.
13. 24 14.
15. 4

11. 【解析】

12. 【解析】作出不等式组
所表示的可行域如图所示，联立
得
，作直线
，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即
.

13．【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个

小三棱锥得到的，如图

14．【解析】圆
（为参数）表示的曲线是以点
为圆心，以为半径的圆，将直线
的方程化为直角坐标方程为
，圆心
到直线
的距离

，

故圆截直线所得弦长
.

15．【解析】由于
，
，而
，因此
，

，

，
，
，

，
，
，故
，由于
切圆于点，易知
，由勾股定理可得

，因此
.

16．解：依题意

………2分

（1） 函数
的值域是
； ………4分

令
，解得
………7分

所以函数
的单调增区间为
. ………8分

（2）由
得
,

因为
所以
得
, ………10分

………12分

17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为

∴男生应该抽取
人 …………………………４分

（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。女生2人记
；男生4人为
， 则从6名学生任取2名的所有情况为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共15种情况，……………………8分

其中恰有1名女生情况有：
、
、
、
、
、
、
、
，共8种情况， …………………………10分

故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为
. …………………12分

18．证明：（1）由
是菱形

……3分

由
是矩形

………6分

（2）连接
，

由
是菱形，

由
面
,

，………10分

则
为四棱锥
的高

由
是菱形，
，则
为等边三角形，

由
；则
，
，

………………………………………14分

19.解：（1）∵
，且
成等比数列，

∴
，即
， ……………2分

∴
……………………4分

又∵
∴
………………6分

（2）∵
， ①

∴
，即
，又
， ②

①②得
……………………………………………9分

∴
，∴
，………………………………11分

则

………………14分

20.解：因为直线
的方程为
，

令
，得
，即
…………………………………………1分

∴
，又∵
，∴
，

∴ 椭圆
的方程为
.………………………………………４分

（2）存在点P，满足

∵ 圆心
到直线
的距离为
，

又直线
被圆
截得的弦长为
，

∴由垂径定理得
，

故圆
的方程为
.………………………………８分

设圆
上存在点
，满足
即
，

且
的坐标为
，

则
，

整理得
，它表示圆心在
，半径是
的圆。

∴
………………………………………１２分

故有
，即圆
与圆
相交，有两个公共点。

∴圆
上存在两个不同点，满足
.………………………１４分

21.解：（1）当
时，

………………………………6分

（2）因为
，

所以


，

令

……………………8分

（i）当a=0时，

所以当
时g(x)>0,
此时函数
单调递减，

x∈（1?，∞）时，g(x)<0,
此时函数f,(x)单调递增。

（ii）当
时，由
，解得：
……………………10分

①若
,函数f(x)在
上单调递减，……………………11分

②若
，在
单调递减，在
上单调递增.

③ 当a<0时，由于1/a-1<0,

x∈(0,1)时，g(x)>0,此时
,函数f(x)单调递减；

x∈（1?，∞）时，g(x)<0 ,
,此时函数
单调递增。

综上所述：

当a≤?0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;

函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

当
时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减

当
时，函数f(x)在
上单调递减；

函数 f(x)在
上单调递增；………14分