成都七中2014级考试数学试卷(理科)

命题人：刘在廷 审题人：周莉莉

一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)

1． 已知集合
，
，则
的元素个数为（ ）

（A）
（B） （C）
（D）

2. 已知命题
命题
，则（ ）

（A） 命题
是假命题 （B）命题
是真命题

（C）命题
是假命题 （D） 命题
是真命题

3. 已知
为虚数单位，则复数
与
的积是实数的充要条件是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）

（A）
，且

（B）
，且

（C）
，且

（D）
，且

5. 国色天香的观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m（即
长），巨轮的半径为30m，

m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点
为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为
m，则
=（ ）

(A).
(B).

(C).
(D).

6．已知抛物线
与椭圆
交于
两点，点为抛物线与椭圆的公共焦点，且
共线

则该椭圆的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7.为贯彻落实 《四川省普通高中学分管理办法(试行)》，成都某中学的4名学生可从本年级开设的3门课程中选择，每个学生必须且只能选一门，且每门课必须有人选，则不同的选课方案有（ ）种

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 函数
的图象大致为 (　 )

（B）

（C） （D）

9．已知
是平面上不共线的三点，点
在
内，且
.若向
内（含边界）投一颗麦粒，则麦粒落在
内（含边界）的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10.若对任意一个三角形，其三边长为
，且
都在函数
的定义域内，若
也是某个三角形的三边长，则称
为“保三角形函数”。若
是保三角形函数。则
的最大值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题(每小题5分,共25分.把答案填在题答题卡上.)

11. 执行右图程序，当输入68时，

输出的结果是_________.

12．若
的展开式中只有第4项的二项

式系数最大，则
的系数是_________（用数字作答）.

13. 在
中,已知
，

的面积是12，则
的值为________.

14．已知椭圆

，左，右焦点分别为
，过
的直线
交椭圆于
两点，

若
的最大值是
，则的值是_______．

15．若
是空间不共面的线段，且满足
，二面角
的大小分别为
，以
为球心，半径为作球面；给出以下结论，其中正确的有__________；

①若
，劣弧
的长为
，则
；

②若
，圆弧
在点处的切线
与圆弧
在点处的切线
的夹角为；

③若
，球面与以
为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为
，则
；

④若
，球面与以
为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为
，则
的零点可能有0个，1个，2个，3个，4个。

三、解答题(本大题共6小题.共75分.
题每题12分,20题13分,21题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16．已知数列
，其前项和为
，点
在抛物线
上；各项都为正数的等比数

列
满足
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）记
,求数列
的前项和
．

17．在△
中，角、、
所对的边分别是、
、，且
（其中
为△
的面积）．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，△
的面积为3，求．

18．成都某单位有车牌尾号为3的汽车A和尾号为7的汽车B，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5.成都地区汽车限行规定如下：

车尾号

1和6

2和7

3和8

4和9

5和0



限行日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五





现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立.

(Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；

(Ⅱ)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X).

19.如图，在三棱锥
中，
底面
，
，为
的中点，
为
的中点，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
成角的正弦值；

（Ⅲ）设点在线段
上，且
，
平面
，

求实数
的值.

20.已知抛物线
与轴交点为
，动点
在抛物线上滑动，且

（1）求
中点的轨迹方程；

（2）点
在上，
关于轴对称，过点作切线，且
与平行，点到
的距离为
，且
，若
的面积
，求点的坐标 。

21.设函数
,
.

（1）求
的极大值；

（2）求证：

（3）当方程
有唯一解时，试探究函数
与
的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在.研究的值的个数；若不存在，请说明理由.

成都七中2014级考试数学试卷(理科)（参考答案）

一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)

1—5：ADCDB 6—10：ABDDC

二、填空题(每小题5分,共25分.把答案填在题答题卡上.)

11、20 12、
13、
14、2 15、①③

三、解答题(本大题共6小题.共75分.
题每题12分,20题13分,21题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16、解：（Ⅰ）

当
时，

数列
是首项为2，公差为3的等差数列，

又各项都为正数的等比数列
满足

解得
，
……………………5分

(Ⅱ)由题得

①

②

①-②得

………………………………………………12分

17、解析：（Ⅰ）由已知得
即

………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

,

……………………………………12分

18、.解：（Ⅰ）设车在星期出车的事件为
，车在星期出车的事件为
，

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，

因为
两车是否出车相互独立，且事件
互斥

所以

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为
. ……………………5分

（Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3

所以的的分布列为

0

1

2

3

















………………12分

19、（Ⅰ）证明：因为
底面
，
底面
，

所以
，

又因为
，
， 所以
平面
，

又因为
平面
， 所以
.

因为

是
中点， 所以
，

又因为
，

所以
平面
. …………………………4分

（Ⅱ）解：在平面
中，过点作

因为
平面
，

所以
平面
，

由
底面
，得
，
，
两两垂直，

所以以为原点，
，
，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，
.

设平面
的法向量为
，

因为
，
，

由
得
令
，得
.

设
与平面
成角为， 因为
，

所以
，

即
…………………………8分

（Ⅲ）解：因为
，
， 所以
，

又因为
， 所以
.

因为
平面
，平面
的法向量
，

所以
，

解得
. ………………………………12分

20、解：（1）显然直线
的斜率存在且不为0，设为，设
的中点

直线
与
联立解得：

同理：

的中点

轨迹方程：
…………………………6分

（2）由
得：
，设
则

又
则
则

又
则

为直角三角形

设
与抛物线联立得：

同理：

同理：

，代入得：
……………………13分

21、解：（1）
由
得













0







递增

极大值

递减





从而
在
单调递增,在
单调递减.

……………………………………………………4分

（2）证明：