天津市蓟县康中中学2014届高三5月模拟数学（文）试题

第I卷

注意事项：

1.答第I卷时，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。答在试卷上无效。

3.本卷共10道小题，每小题5分，共50分

一、选择题

1. 设M、N是两个非空集合，且M={a｜a∈N}，则M、N 间的关系为（ ）

（Ａ） M=N （Ｂ） M是N的真子集

（Ｃ） M是N的子集 （Ｄ） M∈N

2．复数
（是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 双曲线
的焦点的坐标是（ ）

（Ａ） ( ±
,0) （Ｂ） (±
,0)

（Ｃ） ( 0,±
) （Ｄ） (0,±
)

4.某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品共有(　　)

　　A.100件　　　　B.200件　　　　C.300件　　　　D.400件

5. 已知二次函数f(x)的图象是一条开口向下的抛物线，且对任意x∈R,均有f(1-x)=f(1+x) 成立。下列不等式中正确的是（ ）

（Ａ）
（Ｂ） f(-1)＞f(2)

（Ｃ） f(-1)＜f(2) （Ｄ） f(0)＜0

6.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且
，其中O为原点，则实数a=(　　)

　　A.2　　　　　　B.-2　　　　　 C.2或-2　　　　D.
或-

7．已知等差数列
中，有
，且它们的前项和
有最大值，则使得
的的最大值为（ ）

A．11 B．19 C． 20 D．21

8.读下面程序框图，则循环体执行的次数是____，程序输出结果是____.

　　A.49,2045　　　B.50,2540　　　C.50,2450　　　D.49,2450　

9. 如图，直线a在α内,b在β内,α⊥β,α∩β=c,∠1=∠2=60°则a、b所成角θ的

余弦值为（ ）

（Ａ） 1 （Ｂ）

（Ｃ）
（Ｄ）

10．给出如下三个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5” 的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；

③四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；

④在△
中，“
”是“
”的充分不必要条件．

其中不正确的命题的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11．电动自行车的耗电量与速度之间的关系为
，为使耗电量最小，则其速度应定为　　　　　

12.若已知区域M={(x,y)||x-2|+|y-2|≤2，x，y∈R}，区域M内的点到坐标原点的距离不超过2的概率是__________.

在正三棱柱
，若
，则到平面
的距离　

如图，已知
是半圆
的直径，是
延长线上一点，
切半圆
于点,
于
，若
，则
　　　　　;
　　　　　

设函数
是定义在上的奇函数
，若当
时，
,则满足
的的取值范围是　　　　　

已知点
的坐标满足条件

点为
，那么
的取值范围为　　　　　

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　17.(本大题满分12分)

　　设向量
，函数

求函数
的最小正周期；

当
时，求函数
的值域；

求使不等式
成立的的取值范围。

　　18.(本大题满分12分)

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点.求证：　　

(1)AB⊥平面CDE；

　　(2)平面CDE⊥平面ABC.

(3)若G为△ADC的重心，试在线段AB上确定一点F，使得GF∥平面CDE.

　　19.(本大题满分12分)

　　已知函数f(x)=ax2-2bx+a(a，b∈R).

　　(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率；

(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f(x)=0没有实根的概率.

20．（本大题满分12分）

设函数

（1）求
的最小值
；

（2）若
对
时恒成立，求实数的取值范围。

　　21. （本大题满分14分）

在等比数列
中，前项和为
，若
成等差数列，则
成等差数列。

（1）写出这个命题的逆命题；

（2）判断逆命题是否为真？并给出证明。

22. （本大题满分14分）

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点
，平行于
的直线
在轴上的截距为
，
交椭圆于
两个不同点

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）求证直线
与轴始终围成一个等腰三角形。

参 考 答 案

所以

（2）当
时，

所以
，即
。

（3）
即
所以

所以

所以

18.证明：

　　(1)
.同理，
.

又∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE.

　　(2)由(1)有AB⊥平面CDE.

　　又∵
，∴平面CDE⊥平面ABC.

　　(3)连接AG并延长交CD于H，连接EH，则
.在AB上取点F使得
，则GF∥EH.易知GF∥平面CDE.

19.解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2,3}中任一个元素，

　　∴a,b取值的情况是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，

(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

　　即基本事件总数为16.

　　设“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A.

　　当a≥0，b≥0时，方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b＞a且a不等于零.

　　当b＞a时，a,b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，

　　即A包含的基本事件数为3

　　∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=
.

　　(2)由b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，

　　则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2}.

　　这是一个矩形区域，其面积Sa=2×3=6.

　　设“方程f(x)=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为

　　{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a＞b}，其面积
.

　　由几何概型的概率计算公式，可得

　　方程f(x)=0没有实根的概率
.

由
，得
或
（舍去）

（0,1）

1

（1,2）







0







增

极大值

减





在
内有最大值
，

对
时恒成立等价于
恒成立。

即

解：（1）在等比数列
中，前项和为
，若
成等差数列，则
成等差数列。

（2）数列
的首项为
，公比为。由题意知：

即

当
时，有

显然：
。此时逆命题为假。

当
时，有
，

，此时逆命题为真。

解：（1）设椭圆方程为

则
解得
所以椭圆方程

（2）因为直线
平行于OM，且在轴上的截距为

又
，所以
的方程为：

由

因为直线
与椭圆交于
两个不同点，

所以的取值范围是
。

（3）设直线
的斜率分别为
，只要证明
即可

设
，则

由

可得

而

故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。