成都七中2014级考试数学试卷(文科)

命题人：刘在廷 审题人：周莉莉

一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)

1． 已知集合
，
，则
的元素个数为（ ）

（A）
（B） （C）
（D）

2. 已知命题
命题
，则（ ）

（A） 命题
是假命题 （B）命题
是真命题

（C）命题
是假命题 （D） 命题
是真命题

3. 已知
为虚数单位，则复数
与
的积是实数的充要条件是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）

（A）
，且

（B）
，且

（C）
，且

（D）
，且

5. 国色天香的观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m（即
长），巨轮的半径为30m，

m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点
为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为
m，则
=（ ）

(A).
(B).

(C).
(D).

6．已知抛物线
与椭圆
交于
两点，点为抛物线与椭圆的公共焦点，且
共线

则该椭圆的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 设
为空间的两条不同的直线，
为空间的两个不同的平面，给出下列命题：

①若∥，∥
，则∥
； ②若
，则∥
；

③若∥，∥，则∥； ④若
，则∥．

上述命题中，所有真命题的序号是（ ）

（A） ①② （B）③④ （C） ①③ （D） ②④

8. 函数
的图象大致为 (　 )

（B）

（C） （D）

9．已知
是平面上不共线的三点，点
在
内，且
.若向
内（含边界）投一颗麦粒，则麦粒落在
内（含边界）的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10.若对任意一个三角形，其三边长为
，且
都在函数
的定义域内，若
也是某个三角形的三边长，则称
为“保三角形函数”。若
是保三角形函数。则
的最大值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题(每小题5分,共25分.把答案填在题答题卡上.)

11. 执行右图程序，当输入68时，

输出的结果是_________.

12．为了解高2014届学生的身体发育情况，抽查了

该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg），

得到频率分布直方图如右图：根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是___________人

13. 在
中,已知
，

的面积是12，则
的值

为________.

14．已知椭圆

，左，右

焦点分别为
，过
的直线
交椭圆于

两点，若
的最大值是
，

则的值是_______．

15．关于三次函数
，以下说法正确的有_________。

①
可能无零点

②
一定是中心对称图形，且对称中心一定在
的图象上

③
至多有2个极值点

④当
有两个不同的极值点
，且
，
，则方程
的不同实根个数为：
个或个.

三、解答题(本大题共6小题.共75分.
题每题12分,20题13分,21题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16．已知数列
，其前项和为
，点
在抛物线
上；各项都为正数的等比数

列
满足
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）记
,求数列
的前项和
．

17．在△
中，角、、
所对的边分别是、
、，且
（其中
为△
的面积）．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，△
的面积为3，求．

18．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数
依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

1

2

3

4

5



频率



0．2

0．45







（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求，
，的值；

（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为
，
，
，等级系数为5的2件日用品记为
，
，现从
，
，
，
，
这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

19. 如图，在三棱锥
中，
底面
，
，为
的中点，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求经过点
的球的表面积。

20.已知抛物线
与轴交点为
，动点
在抛物线上滑动，且

（1）求
中点的轨迹方程；

（2）点
在上，
关于轴对称，过点作切线，且
与平行，点到
的距离为
，且
，证明：
为直角三角形

21. 设函数
.

（1）求
的极大值；

（2）求证：

（3）当方程
有唯一解时，方程
也有唯一解，求正实数的值；

成都七中2014级考试数学试卷(文科)（参考答案）

一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)

1—5：ADCDB 6—10：ADDDC

二、填空题(每小题5分,共25分.把答案填在题答题卡上.)

11、20 12、
13、
14、2 15、②③

三、解答题(本大题共6小题.共75分.
题每题12分,20题13分,21题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16、解：（Ⅰ）

当
时，

数列
是首项为2，公差为3的等差数列，

又各项都为正数的等比数列
满足

解得
，
……………………5分

(Ⅱ)由题得

①

②

①-②得

………………………………………………12分

17、解析：（Ⅰ）由已知得
即

………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

,

……………………………………12分

18、.解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=
=0.15………3分

等级系数为5的恰有2件，所以c=
=0.1 ……………4分

从而a=0.35-b-c=0.1

所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分

（2）从日用品
,
,
,
,
中任取两件，所有可能结果(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),（
,
）,(
,
),(
,
),(
,
),

(
,
),(
,
)共10种， …9分

设事件A表示“从日用品
,
,
,
,
中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(
,
),(
,
),(
,
),(
,
)共4个，………11分

故所求的概率P(A)=
=0.4 ……………12分

19、（Ⅰ）证明：因为
底面
，
底面
，

所以
，

又因为
，
， 所以
平面
，

又因为
平面
， 所以
.

因为

是
中点， 所以
，

又因为
，

所以
平面
. …………………………6分

（Ⅱ）
……………………12分

20、解：（1）显然直线
的斜率存在且不为0，设为，设
的中点

直线
与
联立解得：

同理：

的中点

轨迹方程：
…………………………6分

（2）由
得：
，设
则

又
则
则

又
则

为直角三角形……………………13分

21、解：（1）
由
得













0







递增

极大值

递减





从而
在
单调递增,在
单调递减.

……………………………………………………4分

（2）证明：

分别令

，
，

…………………………9分

（3）由（1）的结论：方程
有唯一解

方程