考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部 命题人：王晓玲

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1. 利用秦九韶算法计算多项式
,求
时的值，需要做乘法和加法的次数分别为（ ）

A．6，6 B. 5，6 C．5，5 D. 6，5

2．函数
的单调递增区间为（　　）

A．
B.
C.
D．

3．设若

，则的值是( )

A.
B. 2 C. 1 D.

4．已知变量x，y满足约束条件
，则目标函数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．右图中，
为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当
时，
等于（ ）

A．11 B．10 C．8 D．7

6．在实数集中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集
上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数
，
(
)，
当且仅当“
”或“
且
”．

按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题：

①若
，则
；

②若
，
，则
；

③若
，则对于任意
，
；

④对于复数
，若
，则
.

其中所有真命题的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

7.已知
，若
，则实数的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

8．等差数列
的前项和为
，且
，
，则过点
和
(
)的直线的一个方向向量是(　　)

A.
B．
C.
D.

9．若当
时，函数
取得最小值，则函数
是（ ）

A．奇函数且图像关于点
对称 B．偶函数且图像关于点
对称

C．奇函数且图像关于直线
对称 D．偶函数且图像关于点
对称

10．在非钝角
中，
，则
的最小值为(　　)

A．
B.
C．
D．

11．在
中，、分别为
、
中点．为
上任一点，实数，满足
．设
，
，
，
的面积分别为
，记
，
，
，则
取最大值时，
的值为（ ）

A．
B． C．
D．

12．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦
的长度分别等于
、
，
分别为
的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦
可能相交于点
；②弦
可能相交于点；③
的最大值为5；④
的最小值为l. 其中真命题的个数为 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采取随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机数模拟产生了20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为 ．

14.已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等，
在底面
上的射影为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值为 ．

15. 某农科所要在一字排开的
六块试验田中，种植六种不同型号的农作物，根据要求，农作物甲不能种植在第一及第二块试验田中，且农作物乙与甲不能相邻，则不同的种植方法有 种．

16．抛物线
的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点
、
，使得
，则
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）已知等差数列
中,首项
，公差
为整数,且满足
数列
满足
，且其前项和为
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
为
的等比中项,求正整数的值．

18．（本小题满分12分）假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为
．

（Ⅰ）求
的分布列及
的数学期望；

（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为，求的数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，已知矩形
的边
,
,点、分别是边
、
的中点，沿
、
分别把三角形
和三角形
折起，使得点和点重合，记重合后的位置为点.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设
、
分别是棱
、
的中点，求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的大小.

20．（本小题满分12分）已知抛物线
的焦点为
,点
与
关于坐标原点对称,直线垂直于轴(垂足为),与抛物线交于不同的两点
且
.

(I)求点的横坐标
；

(II)若以
,
为焦点的椭圆
过点
.

①求椭圆
的标准方程；

②过点
作直线
与椭圆
交于
两点,设
,若
的取值范围.

21．(本小题满分12分) 已知函数
（其中是实数）.

(Ⅰ)求
的单调区间；

(Ⅱ)若
，且
有两个极值点
，求
的取值范围． （其中是自然对数的底数）

请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知点
，参数
，点
在曲线
：
上.

（Ⅰ）求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线
的方程；

（Ⅱ）求
的最小值.

23.（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．

4月上半月（总第六次）月考数学试题（理）答案

一、选择题：

1. A． 2．D 　3．C 4．B．5．C 6．B　7. B 8．A　9．C 10．B 11．D 12．C

【解析】：由已知可得

，

所以函数是奇函数，关于直线
对称

二、填空题：

13．
14.
15.
16．

【解析】设底面边长为a,则由题意知
就是异面直线
与
所成的角,因为

所以在
中，
.

16.【解析】：由题意可得A（0，-2），直线MN的斜率k存在且k≠0，设直线MN的方程为y=kx-2，

联立方程
消去得
，设M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x0，y0），

则△=64k2-64＞0，即k2＞1，x1+x2=8k，y1+y2=k（x1+x2）-4=8k2-4，所以x0=4k，y0=4k2-2即E（4k， 4k2-2）．

因为
，所以

所以BE⊥MN即点B在MN的垂直平分线上，因为MN的斜率为k，E（4k， 4k2-2）．所以MN的垂直平分线BE的方程为：
与y轴的交点即是B，令x=0可得，y=2+4k2，则
。

点评： 本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于向量知识的综合应用，属于难题．

三、解答题

17．解: （Ⅰ）由题意,得
解得
< d <
.又d∈Z,∴d = 2∴an=1+(n-1) 2=2n-1.

（Ⅱ）∵

,

∴

∵
,
,
,S2为S1,Sm(m∈
)的等比中项,

∴
,即
, 解得m=12.

18．解：（Ⅰ）∵
的所有可能取值为0， 1，2，3，4，
， 1分

∴
，
，
，
，
， 5分

的分布列为

0

1

2

3

4

















∴期望
6分

（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则 7分

， 9分

， 11分

的期望值
. 12分

19．（Ⅰ）证明:

（Ⅱ）如图,建立坐标系,则

,

易知
是平面PAE的法向量,

设MN与平面PAE 所成的角为

所以
.

（Ⅲ） 易知
是平面PAE的法向量,设平面PEC的法向量

则
即
所以

所以
所以二面角A-PE-C的大小为
.

20．解:(Ⅰ)由题意得
,
,设
,
,

则
,
.

由
,得
即
,①

又
在抛物线上,则
,② 联立①、②易得

(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意得
,

设椭圆
的标准方程为
, 则
③

又
④ 将④代入③,解得
或
(舍去)

所以
故椭圆
的标准方程为

(ⅱ)方法一: 容易验证直线
的斜率不为0,设直线
的方程为

将直线
的方程代入
中得:

设
,则由根与系数的关系

可得:
⑤
⑥

因为
,所以
,且
.

将⑤式平方除以⑥式,得:

由

所以

因为
,所以
,

又
,所以
,

故

,

令
,所以
所以
,即
,

所以
.

而
,所以
. 所以

21.

22.解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则有
消去参数α，可得

由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆

∵曲线C：
，即
，

即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．

（Ⅱ）如图：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，

半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于
．

所以|PQ|的最小值为
-1．

23.解：（Ⅰ）因为
，所以
.

因为不等式
在R上恒成立，所以