2014年高中毕业班适应性考试

数学（理科）试题

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．

1.已知集合
，为虚数单位，则下列选项正确的是

　　A．
　　　　B．
　　　C．
　　　D．

2. “
”是“
”的

　　A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件　

C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件

3．已知
，
，执行右边程序框图，则输出的结果共有

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

4．已知服从正态分布
的随机变量在区间
，
和
内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布
，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有

A．997人 B．972人 C．954人 D．683人

5．设
是周期为4的奇函数，当
时，
，则
等于

A. 1 B.
C.3 D.

6．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是

A．16 B．12 C．8 D．6

7．数列
的前项和为
，前项积为
，且
，则
等于

A．31 　　　　B．62 　　　　C．124 　　　　D．126

8．在
中，
是
边上的高，给出下列结论：

　①
； ②
； ③
；

其中结论正确的个数是

A．
B． C． D．

9．如图，棱长为的正方体
中，为线段
上的动点，则下列结论错误的是

　 A．
　 B．平面
平面

C．
的最大值为
D．
的最小值为

10．已知圆
和圆
，动圆M与圆
,圆
都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为
，
（
），则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置．

11．把函数
的图象向右平移3个单位后，得到函数
的图象，则函数
的解析式为 ．

12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是 ．

13．已知函数
则满足
的实数的取值范围是 .

14．设不等式组
表示区域为，且圆
在内的弧长为
，则实数的值

等于 ．

15．A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为
和
（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：

①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远

③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地 ④甲追上乙后，先到达C地

其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．

16．（本小题满分13分）

已知函数
.

　（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

　（Ⅱ）若
是
的三个内角，且
，
，又
，求
边的长．

17. （本小题满分13分）

如图1，直角梯形
中，
，
，
，点为线段
上异于
的点，且
，沿
将面
折起，使平面
平面
，如图2.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当三棱锥
体积最大时，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

18. （本小题满分13分）

已知圆
经过椭圆
的右焦点和上顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点
的射线与椭圆在第一象限的交点为
，与圆
的交点为，
为
的中点，

求
的最大值.

19．（本小题满分13分）

自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．

堵车时间（单位：小时）

频数



[0,1]

8



(1, 2]

6



(2, 3]

38



(3, 4]

24



(4, 5]

24





CD段

EF段

GH段



堵车概率









平均堵车时间

(单位：小时)



2

1





经调查发现，堵车概率在
上变化，在
上变化．

在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计
段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．

（Ⅰ）求
段平均堵车时间的值；

（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）函数
的零点从小到大排列，记为数列
，求
的前项和
；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设点是函数
与
图象的交点，若直线
同时与函数
，
的图象相切于点，且

函数
，
的图象位于直线
的两侧，则称直线
为函数
，
的分切线.

探究：是否存在实数，使得函数
与
存在分切线？若存在，求出实数的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知在矩阵M对应的变换作用下，点A(1,0)变为A′(1,0)，点B(1,1)变为B′(2,1)．

（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）求
，
，并猜测
（只写结果，不必证明）．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（为参数，
）．

（Ⅰ）写出直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求直线
与曲线
的交点的直角坐标.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
，且
，
的最小值为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）解关于的不等式
.

2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．

1～10：CABCB ABDCA

9．提示：
面
，∴A正确；
面
，∴B正确；当
时，
为钝角，∴C错；将面
与面
沿
展成平面图形，线段
即为
的最小值，解三角形易得
=
， ∴D正确.故选C.

10.提示：①动圆与两定圆都内切时：
，所以

②动圆与两定圆分别内切，外切时：
，所以

处理1：
，再用均值求
的最小值
；

处理2：

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置．

11．
12．
13．

14．
15．④

15．提示：经过小时，甲乙走过的路程分别为
，
，令
，
，所以甲先到达；

令
，设
…

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．

16．本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想．满分13分．

解:(Ⅰ)

-----------1分

-------------------3分

--------------------4分

令
-----------------------5分

解得

∴函数
的递增区间是
. --------------------------6分

(Ⅱ)由
得,
,∵
, ∴
或
. -------8分 (1)当
时,由正弦定理得,

； ---------------------------------10分

(2) 当
时,由正弦定理得,

. ----------------------------------12分

综上，
或
． ------------------------------------------------------13分

17．本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．满分13分．

（Ⅰ）证明：∵
，
面
，
面
，

∴
面
，　　　　　　　　　　 --------------------2分

同理
面
， --------------------3分

又
，∴面
面
， --------------------4分

又
面
，∴
面
. --------------------5分

（Ⅱ）法一：∵面
面
，又
，面
面
，

∴
面
.

以
所在直线为轴，
所在直线为轴，
所在直线为轴，建立

空间直角坐标系
， 　 -----------------------7分

设
，则
，

，

∴当
时，三棱锥
体积最大. -----------------------9分

∵
， ∴