武汉市2014届高中毕业生五月模拟考试

理 科 数 学

2014.5.8

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数

，若z的实部为2，则z的虚部为

A．－i B．i C．－1 D．1

2．命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题是

A．若α≠
，则tanα≠1 B．若α=
，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α=

3．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198



3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481



A．08 B．07 C．02 D．01

4．设
，则二项式
展开式中的第4项为

A．
B．

C．
D．

5．已知全集U＝Z，如右图程序框图所示，集合A＝{x|框图中输出的x值}，

B＝{y|框图中输出的y值}；当x＝－1时，(?UA)∩B＝

A．{－3，－1，5}

B．{－3，－1，5，7}

C．{－3，－1，7}

D．{－3，－1，7，9}

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．
且
，则

A.
B.

C.
D.

7．某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的体积为

A．16+8π

B．8+8π

C．16+16π

D．8+16π

8．某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x＋1－)元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的生产速度为

A．5千克/小时 B．6千克/小时 C．7千克/小时 D．8千克/小时

9．设双曲线
的中心为点
,若有且只有一对相较于点
、所成的角为
的直线
和
,使
,其中
、
和
、
分别是这对直线与双曲线
的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．已知
，符号
表示不超过的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则的取值范围是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必考题（11—14题）

11．在平面直角坐标系xOy中，
为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线
斜率的最小值为 ．

12．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）．

13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝ ．

14．在圆中有如下结论：“如图，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A，B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC·PD＝PO2”．类比到椭圆：“如图，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC·PD＝ ”．

（二）选考题

15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，

且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线

交于点E，AD与BC交于点F．若AB＝AC，AE＝6，

BD＝5，则线段CF的长为__ __．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线
（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|＝ ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2．

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；

（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

18．（本小题满分12分）

已知数列{an}是正项数列，{bn}是等差数列，bn，，bn＋2成等比数列，且a1＝3，

a3＝15．

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．

19．（本小题满分12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．

（Ⅰ）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（Ⅱ）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X（单位：t，
）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内销商该农产品的利润．

（Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若
，则取
，且
的概率等于需求量落入
的概率），求利润T的数学期望．

21．（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)=lnx，g(x)=k·
.

（Ⅰ）求函数F(x)= f(x)－g(x)的单调区间；

（Ⅱ）当x>1时，函数f(x)＞g(x)恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝1，

求证：ln(1＋
)+ln(1＋
)＋…＋ln(1＋
)>
．

武汉市2014届高中毕业生5月模拟考试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 2．C 3．D 4．A 5．D

6．A 7．A 8．B 9．A 10．A

二、填空题

11．
12． 13．18 14．PF1·PF2 15． 16．16

三、解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f(x)＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝1－cosx．

由f(α)＝，得sinα＝．

又α是第一象限角，所以cosα＞0，

从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝．

（Ⅱ）f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1，于是sin(x＋)≥．

从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z．

故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z }．

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由bn，，bn＋2成等比数列，得an＝bnbn＋2．

设数列{bn}的公差为d，则



解得或

∴bn＝n，或bn＝－n．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得an＝n(n＋2)，

∴＝＝(－)，

∴Sn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]

＝[(1＋)－(＋)]＜(1＋)＝．

故Sn＜．

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连结AO，在
中，作
于点E.

因为
，得
.

因为
平面ABC，所以
BC.

因为AB=AC，OB=OC，得
BC.

所以BC平面
，所以
.

所以
平面
.

又
，

所以
.

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），
（0，0，2）.

由
，得
.

由（Ⅰ）得平面
的法向量是
.

设平面
的法向量为
，则

得

令
，得
.

所以
，于是

所以平面
与平面
的夹角的正弦值为

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，

.

当
时，
.

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当
.

由直方图知需求量
的频率为0.7.

所以下一个销售季内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

（Ⅲ）依题意可得T的分布列为

T

45000

53000

61000

65000



P

0.1

0.2

0.3

0.4



所以
.

21．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）解法1：设M的坐标为
，由已知得

，

易知圆
上的点位于直线
的右侧.于是
，所以

.

化简得曲线
的方程为
.

解法2：由题设知，曲线
上任意一点M到圆心

的距离等于它到直线
的距离，因此，曲线
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，故其方程为
.

（Ⅱ）当点P在直线
上运动时，P的坐标为
，又
，则过P且与圆

相切得直线的斜率
存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
.

于是

整理得
①

设过P所作的两条切线
的斜率分别为
，则
是方程①的两个实根，故

②

由

得
③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为
，则是方程③的两个实根，

所以
④

同理可得
⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，当P在直线
上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，
．

由
的判别式
，

①当
即
时，
恒成立，则
在
单调递增．

②当
时，
在
恒成立，则
在
单调递增．

③当
时，方程
的两正根为

则
在
单调递增，
单调递减，
单调递增．

综上，当
时，只有单调递增区间
；

当
时，单调递增区间为
，
；

单调递减区间为
．

（Ⅱ）即
时，
恒成立，

当
时，
在
单调递增 ∴当
时，
满足条件，

当
时，
在
单调递减，

则
在
单调递减，

此时
不满足条件，

故实数
的取值范围为
．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
恒成立

令
则
，

∴
，

又
，

∴
，

∴
．