一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）

2、已知集合
若
,则
为.( )

A．
B．
C．
D．

3.数列
的前项和为
,前项积为
,且
,则
等于( )

A.31 B.62 C.124 D.126

4. 给出30个数：1,2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）

A.
B.
.
D.

5.定义在R上的函数
满足
当
，
，则下列结论中正确的是（ ）

A.
B.
C.

D.

6. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥

P—BCD的正视图与侧视图的面积之比为（ ）

A．1:1 B. 2:1 C. 2:3 D. 3:2

7.在
中,
是
边上的高,给出下列结论:

①
; ②
; ③
.其中结论正确的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.设
且
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.

C.

D.

9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

① 甲地：5个数据的中位数为
，众数为
；

② 乙地：5个数据的中位数为
，总体均值为
；

③ 丙地：5个数据中有一个数据是
，总体均值为
，总体方差为
．

则肯定进入夏季的地区有 ( )

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

10、设实数x、y满足
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

11. 在已知椭圆
：
的左右焦点分别为
，若椭圆
上恰好有6个不同的点，使得
为等腰三角形，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.

12． 等腰梯形
中，
分别是底边
的中点，把四边形
沿直线
折起后所在的平面记为，
，设
与所成的角分别为
均不为0
．若
，则点的轨迹为（ ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知
的展开式中含
项的系数为
，则正实数的值为

14. 过抛物线
的焦点的直线
交抛物线
于
两点，若抛物线
在点处的切线斜率为1，则线段
．

15. 在
的棋盘中停放着3个相同的红色車和3个相同的黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有________种停放方法.

16.一个半径为1 的小球在一个内壁棱长为
的正四面体内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是___________

三、解答题：

17．(本小题满分12分)等比数列
的前项和为
，已知
(
)

（1）求数列
的通项公式；

（2）在
与
之间插入个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列．

求证：
(
).

18. (本小题满分12分) 四棱锥
的底面是正方形，侧棱
底面
，过作
垂直
交
于点，作
垂直
交
于
点，平面
交
于点，且
，
.

（1）点是
上任一点，求
的最小值（2）求证：、
在以
为直径的圆上；

（3）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

19、（本小题满分12分）自驾游从地到地有甲乙两条线路，甲线路是

，乙线路是
，其中
段、
段、
段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.

CD段

EF段

GH段



堵车概率









平均堵车时间

（单位：小时）



2

1



（表1）



堵车时间（单位：小时）

频数





8





6





38





24





24



（表2）





经调查发现，堵车概率在
上变化，在
上变化.

在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计
段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据.

⑴求
段平均堵车时间的值.

⑵若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.

20. (本小题满分12分)

已知椭圆C:
(
)的离心率为
,点(1,
)在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中
,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆
上的点(
)处的椭圆切线方程是
,证明直线AB恒过椭圆的右焦点
;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究
的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.

21.(本题满分12分)已知函数
(其中
),
为f(x)的导函数.

(Ⅰ)求证:曲线y=
在点(1,
)处的切线不过点(2,0);

(Ⅱ)若在区间
中存在
,使得
,求
的取值范围;

(Ⅲ)若
,试证明:对任意
,
恒成立.

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，BD交AC于点E．

（I）求证：CD2=DE2=AE×EC;

（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程.

已知曲线
的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为轴正方向建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
(为参数).

(Ⅰ)求曲线
的直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线l与曲线
交于、两点,点
的直角坐标为(2,1),若
,求直线l的普通方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数
.

(Ⅰ)解不等式:
；

(Ⅱ)当
时, 不等式
恒成立,求实数的取值范围.



（2）
底面
，
，又

又
平面
，
，

19.解:⑴
…………3分

⑵设走线路甲所花汽油费为
元，则
…5分

又两条切线交于点M(4,),即
,

即点A、B的坐标都适合方程
,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，

故直线AB恒过椭圆的右焦点
. ……………… 6分

(Ⅲ)将直线
的方程
，代入椭圆方程,得
,

即
所以
,
……………… 8分

不妨设
,
,

同理
………10分

所以
=
=

所以
的值恒为常数
.……………… 12分

所以
.

因此,对任意
,
恒成立 ……12分

（22）解（Ⅰ）∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠ECD，

∴∠CBD＝∠ECD，又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD∽△CED，

∴＝，∴CD2＝DE×DB，

∵DE×DB＝DE×(DE＋BE)＝DE2＋DE×BE，DE×BE＝AE×EC，

∴CD2－DE2＝AE×EC． …6分

（Ⅱ）连结OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，

∴∠COD＝60(．∴∠CBD＝∠COD＝30(，∴∠ACD＝∠CBD＝30(．…10分

23.解:(Ⅰ)由
,得
,
,

曲线
的直角坐标方程是
,即
. …………3分

(Ⅱ)设
,
,

由
,得
①…4分

联立直线的参数方程与曲线
的直角坐标方程得:
,

整理得:
,
,与①联立得:

,
……………8分