2015?稳派名校学术联盟?新高三摸底考试

数学（文）参考答案

1.D
为无理数，所以
，所以
.

2.C 令
，解得
.

3.B　应用公式
检验选项易知B正确.

4.D　A为奇函数，但在定义域内不单调递减；B是非奇非偶函数，C为偶函数，D中函数可验证其是奇函数也是减函数.

5.C 点(1,4)在抛物线
外，故过点(1,4)与抛物线
恰有一个公共点的直线有两条切线和直线y=4，共3条.

6.D　“p且q”为真命题，则p真q真，
假，故
真，其它选项易判断均错.

7.A　将
两边平方得
，即
，且
反向，故
是“
”成立的充分不必要条件.

8.C 由
得：
，

，当且仅当
时取“=”.

9.B　
，故第2015个数为数阵中第403行第5个数，而第403行的5个数依次为403，404，405，404，403，故第2015个数为403.

10.D 由题意，
，
.因
，故
.设
，则
. 因△
≌△
，故
. 由
，得
，
，故S=
(1

11.－2
，故其虚部为－2，即

－2.

12.
原式等于
.

13. 3　 画图可知
与
有三个交点.

14.
|x＋3|＋|x－4|≤9，当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即4

15.1069.6　 依题意可设
每年的衰变率为，则
，得
.

设该古莲子大约是n年前的遗物，则
，

两边取常用对数得
，即

将
代入上式，可解得
.

16.解:（1）

. （4分）

的最小正周期为.（6分）

（2）根据正弦定理知：

.
.(9分)

所以
，又
，所以

所以
=
=0.

17解:(1)证明：由已知得an＋1＝
，＝2＋，∴－＝2，即bn＋1－bn＝2，

∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴数列{bn}的通项公式为bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.

又bn＝，故数列{an}的通项公式为an＝

(2)由(1)知，
.(7分)

故
， ①

所以
② （9分）

①－②，得

所以
=
.(12分)

18.解: (1)在1500学生中拥有平板电脑的共有300+400=700人，

拥有平板电脑的人数频率为:
； （2分）

(2)列联表数据如下:

男生

女生

合计



拥有平板电脑

400

300

700



没有平板电脑

400

400

800



合计

800

700

1500



(4分)

.

因此，有99%的把握可以断定拥有平板电脑与性别有关. (8分)

（3）由分层抽样知识可知，这7份问卷中，男生问卷为4份，女生问卷为3份，记这4份男生问卷为a,b,c,d,3份女生问卷为e,f,g,则从7份问卷中任选2份问卷的不同情况有：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(a,g),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(b,g),(c,d),(c,e),(c,f),(c,g),(d,e),(d,f),(d,g),(e,f),(e,g),(f,g)，共21种:（10分）

其中至少有1份是女生问卷的不同情况有：,(a,e),(a,f),(a,g),(b,e),(b,f),(b,g),(c,e),(c,f),(c,g),(d,e),(d,f),(d,g),(e,f),(e,g),(f,g)，共15种:（11分）

所以至少有1份是女生问卷的概率是
.（12分）

19．证明：(1)四边形ABCD是菱形，
，
为等边三角形.

E是BC的中点，
（2分）

平面ABCD，
. (4分)

，且

.(6分)

（2）由（1）知，
，
为直角三角形，

在
中，
，（8分）

当
最短时，即
时，
面积的最小

此时，

．（10分）

又
，
，
．

.（12分）

20.解：(1)由题意可设椭圆C的方程为
，

又
，
，
，解得
.（4分）

故椭圆C的方程为
.（5分）

（2）设直线

和椭圆C相交于
、
两点.

联立方程得，
消去得，
.

上式有两个不同的实数根，

.

且
，
. (9分)

所以


.

点Q
到
的距离为
.所以
的面积


.

当且仅当
，即
时，
取得最大值，最大值为3.（13分）

21.解：（1）
，

令
，解得x=
.(2分)

若f(x)在区间
上不是单调函数.

则
在区间
上不恒成立.（4分）

所以
，解得0＜
.　（6分）

（2）若要命题成立，只须当
时，
，

由
可知 当
时
，

所以只须
.(8分）

对
来说，
，

当
时，

当
时，显然
小于0，满足题意，

当
时，可令
，

求导可知该函数在
时单调递减，

，满足题意，所以
满足题意，（11分）

②当
时，
在
上单调递增，

令

，解得
.

综上所述，满足题意的a的取值范围是
.(14分)