2015?稳派名校学术联盟?新高三摸底考试

数学（理）参考答案

1.D B=
，所以
.

2.A 根据系统抽样，抽样的分段间隔为
，故抽取的样本的编号依次为7、7＋14＝

21、7＋14×2＝35、7＋14×3＝49，故选A．

3.B依题意可得
又
同号，所以
，所以
.

4.A 函数
为奇函数

或
不存在
，故

“
”是“函数
）为奇函数”的充分不必要条件.

5.D “p且q”为真命题，则p真q真，
假，故
真.

6.D 中山陵与雨花台为南京市的著名景点，故已确定了一个城市——南京，再从其余4个城市中选取2个城市，有
种方法， 再考虑旅游城市的先后顺序，则张伟一家暑期旅游的不同路线有
36种.

7.C 抛物线
的方程即为
，其焦点坐标是
，所以
，解得
，所以双曲线的离心率是
.

8.D 该几何体是一个底面半径为，高为的圆锥与一个底面半径为1，高为1的半圆锥的组合体，圆锥的母线长度为
，故其表面积是
.

9.D 由题意，
，
.因
，故
设
，则
. 因△
≌△
，故
. 由
，得
，
，故S=
(1

10.C 当
时，
，∴
，∴函数
在（0，1）上为增函数，∵
，∴
的图像关于直线x=1对称， ∴
在
上为减函数. ∵
，，∴
的图象关于点(2，0)对称，∴4是函数f(x)的一个周期.a=
，

b=
，
.

11.－2
，故其虚部为－2，即
－2.

12.0.7
，故
.

13.
根据算法框图
求得k=4，则
.

14．
由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，其一般思路是：点到线，线到面，面积变体积。

15.
易知使
的
共有
个，

∴
=

=

两式相加得
=

16.解：（1）

.（2分）

令
解得

f(x)的单调递减区间
，（4分）

由
得

函数图像的对称中心为
（6分）

（2）根据正弦定理知：

.
.(9分)

所以
，

所以
，所以

所以
的取值范围是
. （12分）

17.解：( 1 ) 由圆
与圆
内切，得

，（2分）

整理得
，所以数列
是等差数列.（3分）

当公差d=2时，
；（4分）

当公差d=－2时，
，

当n>1时，
，与数列
是正项数列矛盾，故应舍去.

综上，数列
的通项公式为
.（6分）

( 2 )
，（7分）

故
， ①

所以
②

①－②，得

所以
=
，（10分）

因为

=
，

所以

.（12分）

18.解：( 1 )由频率分布表可得n=
=50. （2分）

(2 )由题意

解得a=15，b=15.（4分）

设“该中学学生暑假期间日平均上网时间在5~7小时之间”为事件A，

则P(A)=
.

即该中学学生暑假期间日平均上网时间在5~7小时之间的概率约为0.5.（6分）

（3）由(2)可知一个学生日上网时间5~7小时之间的概率为：
.

所以
.(8分)

且
.

所以随机变量的分布列为：

0

1

2

3















 (10分)

则
，或
.（12分）

19.解法 一：（1）证明：∵
平面
， ∴
.

∵ 四边形
是矩形， ∴
. (3分)

又
， ∴
平面
.

又 ∵
平面
， ∴平面
平面
.（6分）

（2）取
的中点
，连结
，过
作
，垂足为，连结
.

因为
为中位线，所以
∥
，又因为
平面
，所以

平面
，所以
为
在平面

的射影，由三垂线定理可知

，故
为二面角
的平面

角.(8分）

因为
，
，

又
，
，

可得
∽
，则
，

则
，由勾股定理得
，

所以得
，即二面角
的余弦值为
．（12分）

解法 二：（1）如图所示建立空间直角坐标系
，

则A（0， 0，0）， B（2，0，0），C（2，4，0，），

D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．G（2，3，0）

∴
＝（－2，0，0），
＝（0，4，0），
＝（0，0，2），

＝（0，2，1），
＝（2，4，－2），
＝（2，3，0）．（3分）

∵
，∴
．

∵
，∴
．

又
，∴
平面
．

∵
平面
，∴ 平面
⊥平面
．（6分）

（2）因为
平面
，所以平面
的一个法向量为为
.(7分)

设平面
的法向量为
，则由
，
可知

令
，可得
，

从而可得平面
的一个法向量为
，（10分）

从而
，

由图可知，二面角
为锐二面角，

所以二面角
的余弦值为
．　（12分）

20.解：(1) 设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

由已知得
，

∵P在圆上，∴x2＋
＝2，即
，

∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其方程为
.(4分)

（2）由题意，知直线AB斜率存在，其方程为

由
，消去
（6分）

△=（4km）2—4(2k2+1)(2m2—2)>0.（ 7分）

设
则
（8分）

且
，（9分）

由已知直线F2A与F2B的倾斜角互补得，

，即
(10分)

化简得，
，
，

整理得，
（11分）

所以直线AB的方程为
，

故直线AB过定点，该定点的坐标为（2，0）.（13分）

21.解：（1）f(x)的定义域为（0，
），

若f (x)为单调增函数，则
对x
恒成立，
对
恒成立，而
，故
；（2分）

若f(x)为单调减函数，则
对x
恒成立，
对
恒成立.（4分）

而当x无限增大时，
趋于0，
.当0

（2）由(1)可知当a=1时，f(x)=
在其定义域内为增函数，（7分）

所以当x>1时，f(x)
，即lnx<
（9分）

令x=
，则
，（11分）

所以
，

即
（13分）

即ln(n+1)<
.(14分)