武汉市2014届高中毕业生五月模拟考试

文 科 数 学

2014.5.8

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已
知集合A={0，1，2}，则集合
中元素的个数是

A．1 B．3 C．5 D．9

2．命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题是

A．若α≠
，则tanα≠1 B．若α=
，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α=

3．函数y=
ln(1－x)的定义域为

A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1]
D．[0，1]

4．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198



3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481



A．08 B．07 C．02 D．01

5．设首项为1，公比为 的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则

A．Sn=2an－1 B．Sn =3an－2 C．Sn=4－3an D．Sn =3－2an

6．设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若
, 则△ABC的形状为

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

7．执行右面的程序框图，如果输入的
，那么输出的

A．

B．

C．

D．

8．若存在正数
使
成立，则
的取值范围是

A．
B.
C.
D.

9．已知圆
,圆
,
分别是圆
上的动点,
为
轴上的动点,则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

10．设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b

C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．若复数
（
为虚数单位)
是z的共轭复数，则
+
2的虚部为 ．

12．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．

13．设
为不等式组
表示的平面区
域,区域
上的点与点(1,0)
之间的距离的最小值为 ．

14．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．

15．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝ ．

16．在区间
上随机取一个数
，使得
成立的概率为____.

17．已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O、A为焦点，OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，也有另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2．

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；

（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

19．（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
.
的前
项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）令

，求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分13分）

如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．

（Ⅰ）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE；

（Ⅱ）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝(2x2－4ax)lnx＋x2（a＞0）．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的x∈[1，＋∞)，不等式(2x－4a)lnx＞－x恒成立，求a的取值范围．

22．（本小题满分14分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

武汉市2014届高中毕业生五月模拟考试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．D 5．D

6．B 7．B 8．D 9．A 10．A

二、填空题

11．0 12．78 13．
14．18＋9π 15．18 16．

17．以O、A为焦点，OB长为实轴长的双曲线

三、解答题

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f(x)＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝1－cosx．

由f(α)＝，得sinα＝．

又α是第一象限角，所以cosα＞0，

从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝．

（Ⅱ）f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1，于是sin(x＋)≥．

从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z．

故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z }．

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为d，因为
，
，所以有

，解得
，

所以
；
=
=
．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知
，

所以bn=
=

=
，

所以
=
=

，

即数列
的前n项和
=
．

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）如图，设F为A′B的中点，连结PF，FE．

则有EF∥BC，EF＝BC，PD∥BC，PD＝BC，

∴DE∥PF，又A′P＝PB，

∴PF⊥A′B，

故A′B⊥DE．

（Ⅱ）令PA＝x（0＜x＜2），则A′P＝PD＝x，BP＝2－x．

因为A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，

故A′P⊥平面PBCD．

∴VA′-PBCD＝Sh＝(2－x)(2＋x)x＝(4x－x3)．

令f(x)＝(4x－x3)，

由f ′(x)＝(4－3x2)＝0，得x＝．

当x∈(0，)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(，2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减．

∴当x＝时，f(x)取得最大值，

故当VA′-PBCD最大时，PA＝．

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）求导数，得

f ′(x)＝(4x－4a)lnx＋＋2x＝4(x－a)(lnx＋1)（x＞0），

令f ′(x)＝0，解得x＝a，或x＝．

①当0＜a＜时，x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(0，a)

a

(a，)



(，＋∞)



f ′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

↗

极大

↘

极小

↗



此时f(x)的单调递增区间为(0，a)，(，＋∞)；单调递减区间为(a，)．

②当a＝时，f ′(x)≥0，此时f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．

③当a＞时，x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(0，)



(，a)

a

(a，＋∞)



f ′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

↗

极大

↘

极小

↗



此时f(x)的单调递增区间为(0，)，(a，＋∞)；单调递减区间为(，a)．

（Ⅱ）由(2x－4a)lnx＞－x（x≥1），得(2x2－4ax)lnx＋x2＞0，

即f(x)＞0对x≥1恒成立．

由（Ⅰ）可知，

当0＜a≤时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(1)＞0恒成立；

当＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(1)＝1＞0恒成立；

当a＞1时，f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(a)＞0，即(2a2－4a2)lna＋a2＞0，解得1＜a＜．

综上可知，a的取值范围为(0，)．

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）解法1：设M的坐标为
，由已知得

，

易知圆
上的点位于直线
的右侧.于是
，所以

.

化简得曲线
的方程为
.

解法2：由题设知，曲线
上任意一点M到圆心

的距离等于它到直线
的距离，因此，曲线
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，故其方程为
.

（Ⅱ）当点P在直线
上运动时，P的坐标为
，又
，则过P且与圆

相切得直线的斜率
存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
.

于是

整理得
①

设过P所作的两条切线
的斜率分别为
，则
是方程①的两个实根，故

②

由
得
③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为
，则是方程③的两个实根，

所以
④

同理可得
⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，当P在直线
上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.