一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z＝
在复平面内对应点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B为(　 　)

A.{x|0＜x＜2} B.{x|1＜x≤2}

C.{x|0≤x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x＞2}

3.设
是奇函数，则使
的的取值范围是（ ）

A.
B.
、

C.
D.

4某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是（ ）

A.680 B.320

C.0.68 D.0.32

5．已知数列
满足
，则该数列的前18项和为（ ）

A.2101 B.2012

C.1012 D.1067

6.
的外接圆圆心为
,半径为2，
,且
,
方向上的投影为（ ）

A.
B.

C.
D.

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A.
B.

C.
D.

8.A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距
海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为（ ）小时

A.1 B.2 C.
D.

9．已知直线
被双曲线
的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为（　　　）

A.
　　 B.
C.2 　　 D.3

10.设函数
满足
，
，则当
时，
（ ）

A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值

C.既无极大值，也无极小值 D.既有极大值，又有极小值

二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

(一) 必考题（11—14题）

11.若
在R上可导,
,则
____________.

12.已知
是直角三角形的概率是 .

13.如图, 甲、乙、丙中的四边形ABCD都是边长为2的正方形, 其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB的中点、B点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D点)下方的部分, 丙图中阴影部分是以C为圆心、半径为2的圆弧下方的部分. 三只麻雀分别落在这三块正方形木板上休息, 且它们落在所在木板的任何地方是等可能的, 若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是
, 则
的大小关系是 .

14.把正整数数列
中的数按如下规律排成三角形数阵：设
是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往 右数第
个数（如
）。若
，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量
．

(Ⅰ)当
时，求
的值；

(Ⅱ)设函数
，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为
，若
,求
（
）的取值范围．

18.（本小题满分12分）

已知数列
满足
，其中

(Ⅰ)设
，求证
是等比数列，并求
的通项公式；

(Ⅱ)求证：对任意的
，
能被64整除.

19.（本小题满分12分）

如图，在直棱柱

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)求直线
所成角的正弦值.

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)已知直线
与椭圆
交于、两点，试问，是否存在轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.

22.（本小题满分14分）

设函数

(Ⅰ)求
的最大值；

(Ⅱ)证明：当
时，
；

(Ⅲ)证明：当
，且
,
时，

.

孝感高中五月模拟考试理科数学答案

命题人：彭西骏 韩松桥 黄鹏 詹辉

审题人：陈慧玲 幸芹 柴全中 王峥

选择题：BDADD CBACC

（2）
+

由正弦定理得
或

因为
，所以

,

,

所以

18，（1）解：

又

又

是以27为首项，3为公比的等比数列，

证明：

方法一：二项式定理

能被64整除。

方法二：数学归纳法

则：

都能被64整除

能被64整除，即
时命题也成立

综上可得：对任意的
能被64整除

19，解法1：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．

从而
＝(－t,3，－3)，
＝(t,1,0)，
＝(－t,3,0)．

因为AC⊥BD，所以
·
＝－t2＋3＋0＝0.解得
或
(舍去)．

于是
＝(
，3，－3)，
＝(
，1,0)．

因为
·
＝－3＋3＋0＝0，所以
⊥
，即AC⊥B1D．

(2)由(1)知，
＝(0,3,3)，
＝(
，1,0)，
＝(0,1,0)．

设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则

即

令x＝1，则n＝(1，
，
)．

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sin θ＝|cos〈n，
〉|＝

＝
.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为
.

故
.即AB＝
.

连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，

且B1D2＝BB12＋BD2＝BB12＋AB2＋AD2＝21，

即B1D＝
.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝
，即cos(90°－θ)＝
.

从而sin θ＝
.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为
.

20，【解析】(1)由已知得p1+p2+p3=1,

∵p2=p3,∴p1+2p2=1. ∵p1,p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，

∴

(2)ξ的可能取值为0,10,20,30,40.

P(ξ=0)=
P(ξ=10)=
,

P(ξ=20)=
P(ξ=30)=

P(ξ=40)=

随机变量ξ的分布列为:

ξ

0

10

20

30

40



P













 ------------------10分

E(ξ)=

21，设椭圆的短半轴为
，半焦距为，

则
，由
得
，

由
解得
,则椭圆方程为
.

（2）由
得

设
由韦达定理得：

=

=
=
，

当
，即
时，

为定值，

所以，存在点
使得
为定值

22，解答：(Ⅰ)
，

递增；

递减；

.

(Ⅱ)令
，则

由(Ⅰ)知：
，
，
递减.

,
,
,

.