江西省吉安一中2014届高三4月模拟考试数学文试题（WORD版）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数
在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知全集
，则
为

A. {-1,1} B. {-2} C. {-2,2} D. {-2,0,2}

3. 下列说法正确的是

A. 命题“存在x∈R，x2+x+2013>0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013<0”

B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C. 函数
在其定义域上是减函数

D. 给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则
是假命题

4. 已知函数
的最小正周期为π，为了得到函数
的图象，只要将
的图象

A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

5. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是

A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π

6. 方程
表示的曲线是

A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线 C. 一个圆 D. 一条直线

7. 已知函数
是周期为2的周期函数，且当
时，
，则函数
的零点个数是

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

8. 已知函数
对任意的
满足
（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是

A. 2f（-2）f（2） C. 4f（-2）>f（0） D. 2f（0）>f（1）

9. 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点，FM=x，过直线AB和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V（x），则函数V（x）的大致图象是

10. 过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若
则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 若不等式
对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是 。

12. 已知角a（-π<<0）的终边与单位圆交点的横坐标是
，则
的值是 。

13. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 。

14. 观察下列等式

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于 。

15. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点。设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：①函数y=f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数。其中判断正确的序号是 。

三、解答题：本大题共6个题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元。现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70，75）

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

[95，100）



甲

3

7

20

40

20

10



乙

5

15

35

35

7

3



根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率。

（1）计算甲生产一件产品A，给工厂带盈利不小于30元的概率；

（2）若甲一天能生产20件产品A，乙一天能生产15件产品A，估计甲乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数。

17. （本小题满分12分）

已知公比不为1的等比数列{an}的首项
，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列。

（1）求等比数列{an}的通项公式；

（2）对n∈N+，在an与an+1之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn。

18. （本小题满分12分）

如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置，使得A'C=2
。

（1）求五棱锥A'-BCDFE的体积；

（2）在线段A'C上是否存在一点M，使得BM∥平面A'EF?若存在，求A'M；若不存在，说明理由。

19. （本小题满分12分）

如图，已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°（点A，M，N按逆时针方向排列）。

（1）若
，求BN的长：

（2）若
，求△ABN面积的最大值。

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
的左焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F且倾斜角为
的直线l交椭圆于C，D两点，椭圆C的离心率为
，
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P1，P2是椭圆上不同两点，P1，P2⊥x轴，圆E过点P1，P2，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的内切圆。问椭圆C是否存在过点F的内切圆?若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

21. （本小题满分14分）

已知函数f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）。

（1）若b=0，讨论函数f（x）在区间（0，π）上的单调性；

（2）若a=2b且
，对任意的x>0，试比较f（x）与0的大小。



三、解答题：本大题共6个题，共75分。

16. 解：（1）甲生产一件产品A，给工厂带盈利不小于30元的概率为：

…………6分

（2）估计甲一天生产的20件产品A中有
件三等品，…………8分

估计乙一天生产的15件产品A中有
件三等品， …………10分

所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品。 …………12分

17. 解：（1）因为a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，

所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5， …………2分

即2a6-3a5+a4=0，所以2q2-3q+1=0，因为q≠1，所以
， …………4分

所以等比数列{an}的通项公式为
； …………6分

（2）
， …………9分

。 …………12分

18.

解（1）连接AC，设ACEF=H。

由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，且

EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A'H⊥EF，CH⊥EF。

所以EF⊥平面A'HC，从而平面A'HC⊥平面ABCD， …………2分

过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O，

则A'O⊥平面ABCD …………3分

因为正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，

得到：A'H=
，CH=
，所以cos∠A'HC=
，

所以HO=A'H·cos∠A'HC=
，A'O=

所以五棱锥A'-BCDFE的体积
； ……6分

（2）线段A'C上存在点M，使得A'M∥平面A'EF，A'M=
。 …………7分

证明：A'M=
A'C，HO=
HC，

所以OM∥A'H，所以OM∥平面A'EF， …………9分

又BD∥EF，所以BD∥平面A'EF， …………10分

所以平面MBD∥平面A'EF， …………11分

由BM在平面MBD内，所以BM∥平面A'EF。 …………12分

19. 解：（1）由
，得点N在射线AC上，AN=4，

BN2=1+16-2×1×4×cos120°=21，即BN=
； …………5分

（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，因为△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，所以
，

得：
， …………7分

又∠MAN=30°，
=3，所以AM·AN·cos30°=3，即AN=4sinx+
cosx，

所以△ABN的面积

即
…………10分

（其中：
，
，
为锐角），

所以当
时，△ABN的面积最大，最大值是
。 ……12分

20. 解：（1）因为离心率为
，所以a=2b，c=
b，

所以椭圆方程可化为：
，直线l的方程为y=x+
b， …………2分

由方程组
，得：
，即
，

……4分

设
，则
， …………5分

又
，

所以
，所以b=1，椭圆方程是
； ……7分

（2）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），

则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，

设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则
，

……9分

当x=m时，|ME|2最小，所以
① …………10分

又圆E过点F，所以（
）2=（m-t）2+n2② …………11分

点P1在椭圆上，所以n2=1-
③ …………12分

由①②③解得：
或
，又
时，
，不合，

综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是
。 …………13分

21. 解：（1）b=0时，f（x）=sinx-ax，则f'（x）=cosx-a， …………2分

当a≥1时，f'（x）<0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减：…………3分

当a≤-1时，f'（x）>0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增；…………4分

当-1

x∈
时，f'（x）>0，函数f（x）在区间
上单调递增， …………5分

x∈
时，f'（x）<0，函数f（x）在区间
上单调递减。 …………6分

（2）a=2b时，
，猜测f（x）<0恒成立，…………7分

证明：f（x）<0等价于
，记
，则

， …………10分

当
，即
时，g'（x）≤0，g（x）在区间（0，+）上单调递减，……12分

所以当x>0时，g（x）