江西省临川二中2014届高三（最后模拟）考试数学理试题

试卷满分：150分 完卷时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1．复数
是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）

A．
B．
C． D．

2．已知集合
，
，则满足条件
的集合
的个数为（ ）

A.
B. C.
D.

3．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A．
B． C．
D．

4．设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是(　 　)

A．S＝2，这5个数据的方差 B．S＝2，这5个数据的平均数

C．S＝10，这5个数据的方差 D．S＝10，这5个数据的平均数

5．对于上可导的任意函数
，若满足
，则必有（　　）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

6．下列四个命题：

①利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“
”发生的概率为
；

②“
”是“
或
”的充分不必要条件；

③命题“在
中，若
，则
为等腰三角形”的否命题为真命题；

④2，3，5，7，8，8这组数的极差与中位数相等

其中说法正确的个数是（ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

7.已知点
在由不等式
确定的平面区域内，则点
所在的平面区域面积是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8.已知
外接圆
的半径为，且
，从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，则
的形状为( )

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

9．如图，己知双曲线
的左、右

焦点分别为
，
，焦距为，是双曲线右支上的

一点，
与轴交于点，
的内切圆在边

上的切点为
，若|
| =1，则双曲线的离心率是（ ）

A．3 B．
C．
D．2

在等腰梯形
中，
分别是底边
的中点，把四边形
沿直线
折

起后，点
，设
所成的角分别为
（
均不为零）.

若
，则点的轨迹为（ ）

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．已知
，若为锐角，且
，则
的值为 ．

12.设函数
，其中
，则
的展开式中
的系数为_______

13．方程
的曲线即为函数
的图象，对于函数
，下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号）

①函数
在上是单调递减函数；

②函数
的值域是；

③函数
的图象不经过第一象限；

④函数
的图象关于直线
对称；

⑤函数
至少存在一个零点.

14.已知数列
共有9项，其中，
，且对每个
，均有
。记
，则
的最小值为

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线
（为参数，
）上的点到曲线
的最短距离是 .

（2）（不等式选做题）若关于
的不等式
恒成立，则实数的取值范围是 .

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲 86 77 92 72 78

乙 78 82 88 82 95

（1）用茎叶图表示这两组数据；

（2）现要从甲，乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由

（3）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于
分的次数为
，求
的分布列和数学方差。

17．（本小题满分12分）已知函数
，

（1）当
时，求
在区间
上的取值范围;

（2）当
=2时，
=
，求的值。

18．（本小题满分12分）如图，直角梯形
中，
,点
分别是
的中点，点
在
上，沿
将梯形
翻折，使平面
平面
.

（1）当
最小时，求证：
;

（2）当
时，求二面角
平面角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

已知数列
的各项均为正数，记
,
,

其中
.

（1）若
，且对任意
，三个数
依次组成等差数列，求数列
的通项公式.

（2）
，对任意
，三个数
依次组成公比为的等比数列.求数列
的前项和
公式。

20．（本小题满分13分）

已知
．

（1）若
存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）若
,求证：当
时，
恒成立；

（3）设
，证明：
.

21．（本小题满分14分）

已知抛物线Γ：
和直线
没有公共点（其中
为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线Γ的两条切线，切点分别为
，且直线
恒过点
。

（1）求抛物线Γ的方程

（2）已知为坐标原点，连接
交抛物线Γ于
两点，且点在线段
之间，求
的值

参考答案：

17解：（1）当

又由

从而
——6分

（2）

由
得
，

,所以
，

得
——12分

18 (1)略——6分

(2)
∥平面
,点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.

[(3- k)+4]×2=7-k
=

又
=
,

,
=
,
即EG=1

设平面DBG的法向量为
,∵G(0,1,0),

∴

(－2,2,2), 则
,即

取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴
面BCG的一个法向量为

则cos<
>=
由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,

所以此二面角平面角的余弦值为
——12分

19．解 (Ⅰ) 因为对任意
，三个数
是等差数列，

所以
.

所以
, 即
. 所以.
. 5分

（2）：若对于任意
，三个数
组成公比为的等比数列，则

　　　
.

所以
得

即
. 当
时，由
可得
，

所以
. 因为
，

所以
. ——9分

即数列
是首项为
，公比为的等比数列， 则
12分

20．解：（1）当
时，

∴
.

∵
有单调减区间，∴
有解，即

∵
，∴
有解.

（ⅰ）当
时符合题意；

（ⅱ）当
时，△
，即
。

∴的取值范围是
. ——4分

（2）证明：当
时，设
，

∴
.

∵
，

讨论
的正负得下表：

∴当
时
有最大值0.即
恒成立.

∴当
时，
恒成立. ——8分

（3）证明：∵
，

∴

由（2）有

∴
. ——13分

21．解：（Ⅰ）设

依题意可得：直线
的方程为
，直线
的方程为
．

可得直线
方程
恒过点
，则

∴C的方程为
……………6分

（Ⅱ）由图知
四点共线，可得
可转化为距离，设
，直线
与抛物线方程联立可得
，
，而
展开化简可求得为0，∴
=0 ………14分