江西省上高二中2014届高三高考热身卷 数学理

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U＝R，集合
集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D．

2.函数
，则
的值为 ( )

A. 8 B.
C.
D.

3.下列4个命题:（1）命题“若
，则
”；

（2）“
”是“对任意的实数，
成立”的充要条件；

（3）设随机变量
服从正态分布N（0，1），若
；

（4）命题“
，
”的否定是：“
，
”

其中正确的命题个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.如图给出了计算
的值的程序框图，

其中 ①②分别是( )

A．i<30,n=n+2

B．i=30,n=n+2

C．i>30,n=n+2

D．i>30,n=n+1

5、已知锐角
满足：

，

则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D.

6.空间中，若a、b、c为三条不同直线，、
、为三个不同平面，则下列命题正确的为（ ）

A．若a⊥ b，a⊥ c，则b∥c B．若a⊥，b⊥，则a∥b

C．若a⊥，
⊥，则a∥
D．若a∥，a∥
，则∥

7．在等差数列
中，
，
，记数列
的前项和为
，若
对
恒成立，则正整数的最小值为（ ）

、5 、4
、3 、2

8.函数
的定义域为
，其图像上任一点
都位于椭圆
：
上，下列判断①函数
一定是偶函数；②函数
可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数
可能是奇函数；④函数
如果是偶函数，则值域是
；⑤函数
值域是
，则一定是奇函数。其中正确的命题个数有（ ）个

A、1 B、2 C、3 D、4

9.如果函数y
的图像与曲线
恰好有两个不同的公共点，则实数的

取值范围是（ ）

A．
B．
C．
∪
D．
∪

10. 设函数
在区间
上的导函数为
,
在区间
上的导函数为
,若在区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数” ．已知
,若对任意满足
的实数，函数
在区间
上为“凸函数”，则
的最大值为（ ）

A. B.
C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

11.
,

则
= 。

12.某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是 ．

13.若函数

满足
且
的最小值为
，则函数
的单调增区间为 .

14.已知
是平面上三个不同点，动点满足
且
则

的值为 .

三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分 ）

15 ①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆C经过点
，圆心为直线
与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是 ；

②(不等式选做题)已知关于x的不等式
的解集为
，则实数的取 值范围是 ．

四．解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16. （本题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

（1）求的值；

（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为
，求随机变量
的分布列和均值（数学期望）EX．

17. （本题满分12分）在等比数列
中，公比
，等差数列
满足
，
，
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前项和
．

18．（本题满分12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．

（1）求θ的值，使侧面积S最大；

（2）问当木梁的侧面积S最大时，其体积V是否也最大？请说明理由．

19．(本题满分12分)在直角梯形ABCD中，AD((BC，
,

,如图（1）．把
沿
翻折，使得平面
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若点
为线段
中点，求点
到平面
的距离；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点N，使得
与平面
所成角为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．

20. (本题满分13分)

已知点
，
，动点
、依次满足
，
．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点作直线
交以、为焦点的椭圆于
、
两点，若线段
的中点到轴的距离为
，且直线
与圆
相切，求该椭圆的方程；

（3）经过（2）中椭圆的上顶点
作直线、，使
，直线、分别交椭圆于点、
．求证：
必过轴上一定点．

21. (本题满分14分)已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）试探究函数
在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由。

（3）若
，且
在
上恒成立，求实数a的取值范围。

上高二中2014届高三理科数学热身试卷参考答案

1—10：ADBCB BACBC

11、
； 12、
； 13、
； 14、4

15、①
②

16、（1）解：依题意，得
，……1分

解得
.……………………………………………2分

（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为
.………3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为
.…5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有
种可能的结果．……………6分

这两名同学成绩之差的绝对值
的所有情况如下表：

87

89

96

96



87

0

2

9

9



93

6

4

3

3



93

6

4

3

3



95

8

6

1

1



所以
的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.……………………8分

由表可得
，
，
，
，

，
，
，
.

所以随机变量
的分布列为：

0

1

2

3

4

6

8

9























随机变量
的数学期望为

……11分

.………………………………………………………12分

17.解：（1）设等比数列
的公比为，等差数列
的公差为
。

由已知得，
，
，
，
，…………（1分）

所以，

即
解得
或
（舍去），所以
。……（3分）

所以
，
。 ……（2分）

（2）由题意得
，…………（1分）

所以，

， ……………………（1分）

所以，当为偶数时，
； …………（2分）

当为奇数时，
。 …………（2分）

18．解：（1）木梁的侧面积
=
，
．

设
，
．∵
，

∴当
，即
时，
最大．

（2）梯形
的面积
=
，
．

体积
．

．

令
，得
，或
（舍）． ∵
，∴
．

当
时，
，
为增函数；

当
时，
，
为减函数．

∴当
时，体积V最大．

又由（1）知
时，木梁的侧面积S最大．

所以当木梁的侧面积S最大时，其体积V也最大．

19、解： （Ⅰ）由已知条件可得

．

∵平面
，
．

∴
．

又∵
，∴
．

（Ⅱ）以点为原点，
所在的直线为轴，
所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得

．

∴
．

设平面
的法向量为
，

则
∴

令
，得平面
的一个法向量为
，

∴点M到平面
的距离
．

（Ⅲ）假设在线段
上存在点N，使得
与平面
所成角为
．

设
，则
，

∴
，

又∵平面
的法向量
且直线
与平面
所成角为
，

∴
，

可得
，

∴
（舍去）．

综上，在线段
上存在点N，使
与平面
所成角为
，此时
．

20.解：（1）解法一：设
，
，则
，

又
，

，则
……（1分）

代入
，得
， …………（1分）

即动点的轨迹方程为
． ……………………（1分）

解法二：设
，由已知
，（1分）

由
得
， ……（1分）

即动点的轨迹方程为
．…………（1分）

（2）由题意，直线
的斜率存在．设
的方程为
，

设椭圆的方程为
（
），…………（1分）

由
得

由
与圆
相切，得
，
， …………（1分）

得
。

设