2014届江苏省扬州中学高三数学冲刺训练（5.17）

一、填空题：

1．设全集
，集合A＝{1，3，9}，则
＝___________

2．计算复数(1－i)2－
＝____________

3．已知向量
=（1－
，1），
=（
，1＋
），且
∥
， 则锐角
等于______

4．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则
的值等于_______．

5．如右图,该程序运行后输出的结果为__________.

6．设
，则
______.

7．已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＜0}，B＝{x｜x＜a}，若A(B，则实数a的取值范围是____________．

8．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．

9．若等边△ABC的边长为
，平面内一点M满足
，则
______．

10．在正三棱锥P－ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为___________。

11．已知函数
有零点，则的取值范围是

12．设点P（
）是函数
与
（x∈（
，π）图象的交点，则(
)(
的值是__________________

13．如图，已知椭圆C1的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.，若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率的取值范围_____________．

14．以
间的整数
为分子，以为分母组成分数集合
，其所有元素和为
；以
间的整数
为分子，以
为分母组成不属于集合
的分数集合
，其所有元素和为
；……，依次类推以
间的整数
为分子，以
为分母组成不属于
的分数集合
，其所有元素和为
；则
=________.

三、解答题

15．已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

(1)若
，求c的值；(2)若c＝5，求sin∠A的值．

16．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．高 考 资 源 网

(1)求证：直线EF∥平面A1ACC1；

(2)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．

17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为
，单位时间内，在单位面积上通过的热量
，其中为热传导系数．

假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为
，空气的热传导系数为
．）

（1）设室内，室外温度均分别为
，
，内层玻璃外侧温度为
，外层玻璃内侧温度为
，且
．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用
，
及表示）；

（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x的大小？

18．如图，在平面直角坐标系
中，A、B分别是椭圆：
的左、右顶点， P(2,t)（t∈R,且t≠0）为直线x＝2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F。

（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值 ；

（2）若t＝-1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2 ，

求证：+定值；

（3）求证：四边形AFBE为平行四边形。

19．设是实数，函数
（
）．

（1）求证：函数
不是奇函数；

（2）当
时，求满足
的的取值范围；

（3）求函数
的值域（用表示）．

20．设数列
，
，
，已知
，
，
，
，
，
（
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求证：对任意
，
为定值；

（3）设
为数列
的前项和，若对任意
，都有
，求实数的取值范围．

附加题部分

（满分40分，时间30分钟）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．[选修4—1　几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，在ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心．证明：D，E，F，O四点共圆．

B．[选修4—2　矩阵与变换] （本小题满分10分）

已知
，求曲线
在矩阵
对应的变换作用下得到的曲线方程．

C．[选修4—4　参数方程与极坐标] （本小题满分10分）

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为
，曲线C的参数方程为
，又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长.

D．[选修4—5　不等式证明选讲] （本小题满分10分）

已知
，且
，求
的最小值．

22.过直线
上的动点
作抛物线
的两切线
，
为切点。

（1）若切线
的斜率分别为
，求证：
为定值。

（2）求证：直线
过定点。

23．设集合I＝{1,2,3，…，n}(n∈N+)，选择I的两个非空子集A和B，使B中最小的数大于A中最大的数，记不同的选择方法种数为an，显然a1＝0，a2＝
＝1

(1)求an；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn

2014届江苏省扬州中学高三数学冲刺训练（5.17）

一、填空题：

1． {5,7} 2． －4i 3．  4．  5． 16 6．

7． a≥2 8． . 9． －2． 10．
：1 11．
12． 2

13．解：因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

C1：＋＝1，C2：＋＝1，(a＞b＞0)．

设直线l：x＝t(|t|＜a)，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即

＝，

解得t＝－＝－·a.

因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1.

14解：由题意
＝++…+

＝++…+++…+++…+=++…+ -(++…+)＝++…+ -a1

a3＝++…+ -a1-a2

an＝++…+ -an-1…-a1-a2

所以
=++…+=+[1+2+…+mn-1]＝

三、解答题

15． 解：(1)

由
可得－3(c－3)＋16＝0解得

(2)[法一]当c＝5时，可得AB＝5，
，BC＝5，△ABC为等腰三角形，

过B作BD⊥AC交AC于D，可求得
故

[法二]

16． 证明：(1)连接A1C，A1E．

∵侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，

∴E也是A1B的中点，

又F是BC的中点，∴EF∥A1C．

∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，

∴直线EF∥平面A1ACC1．

(2)解：当
时，平面EFG⊥平面ABC，

证明如下：连接EG，FG．

∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，

∴△A1AB是等边三角形．

∵E是A1B的中点，
，∴EG⊥AB．

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，

∴EG⊥平面ABC．

又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．

17． 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为
，
，则
， ………2分

………6分

． ………9分

（2）由（1）知
，当
4%时，解得
（mm）．

答：当
mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分

18．解：（1）由题意：上顶点C(0，1)，右焦点E(-，0)，

所以l：y＝-x+1，令x＝2，得t＝1-……………………………………………2分

(2)直线AC：y＝k1(x+2)，与
联立

得：C:
，同理得D:
…………………………………4分

由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得+＝-4（定值）…………………………8分

(3)要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，

设点P(2,t)，则OP：y＝x，分别与直线AC：y＝k1(x+2) 与AD：y＝k2(x+2)联立得：

xE＝
，xF＝
，下证：xE+xF＝0，即
+
＝0

化简得：t(k1+k2)-4k1k2＝0………………………………………………………………12分

由(2)可知C:
，D:

由C，D，P三点共线得：kCP＝kDP，得t(k1+k2)-4k1k2＝0（得证）………………16分

19．解：（1）证明：假设
是奇函数，那么对于一切
，有
，

从而
，即
，但是
，矛盾．

所以
不是奇函数．（也可用
等证明） ………………（4分）

（2）因为
，
，所以当
时，
，由
，得
，即
，
，

因为
，所以
，即
． ………………………（6分）

①当
，即
时，
恒成立，故的取值范围是； 分）

②当
，即
时，由
，得
，故的取值范围是
． ………………………（8分）

（3）令
，则
，原函数变成
．

①若
，则
在
上是增函数，值域为
．（10分）

②若
，则
……………………………………（12分）

对于
，有
，

当
时，是关于的减函数，的取值范围是
；

当
时，
，当
时，的取值范围是
，

当
时，的取值范围是
．

对于
，有

是关于的增函数，

其取值范围
． …………………………………………（14分）

综上，当
时，函数
的值域是
；

当
时，函数
的值域是
；

当
时，函数
的值域是
． ………………………（16分）

20．解：（1）因为
，
，所以
（