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2014年宿迁市考前模拟试卷

数学Ⅰ

参考公式：

圆锥的体积公式：
，其中是锥体的底面积，为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，则
= ▲ ．

2．若复数
是纯虚数，则实数的值为 ▲ ．

3．某校高三年级学生年龄分布在17岁，18岁，19岁的人数分别为500，400，200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为
，则
▲ ．

4．已知直线
直线
，

则直线
与直线
没有公共点的概率为 ▲ ．

5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ▲ ．

6．函数

是偶函数，且
在

上是减函数，则
▲ ．

7．如右图
的部

分图象，则
▲ ．

8．已知双曲线
的一条渐近线方程是

，它的一个焦点在抛物线
的准线上，则

双曲线的方程为 ▲ ．

9．若等比数列
的前n项和
，等差数列
的前n项和
，

则
▲ ．

10．在
中，
，
，
，
，则
▲ ．

11．已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是 ▲ ．

12．将三个半径为3的球两两相切地放在水平桌面上，若在这三个球的上方放置一个半径为1的小球，使得这四个球两两相切，则该小球的球心到桌面的距离为 ▲ ．

13．定义：
表示
中的最小值．已知函数

，对于任意的
，均有

成立，则常数的取值范围是 ▲ ．

14．已知实数
不全为零，正数
满足
，设
的最大值为
，则
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在
中，已知为
边上的中点，且
，
．

（1）求
的值；

（2）若
，求边
的长．

16．（本小题满分14分）

如图，在正四棱柱
中，已知
，且点为
的中点．

（1）求证：直线
∥平面
；

（2）求证：平面
平面
．

17．（本小题满分14分）

如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．

（1）求出r与h满足的关系式；

（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时
的值．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆：
，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，
．若
，且当直线
轴时，
．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线
，
的斜率分别为
，
，问
是否为定值？并证明你的结论；

（3）记
的面积为，求的最大值．

19．（本小题满分16分）

已知函数

，设直线
分别是曲线
的两条不同的切线．

（1）若函数
为奇函数，且当
时
有极小值为
．

（i）求
的值；高 考 资 源 网

（ii）若直线
亦与曲线
相切，且三条不同的直线
交于点
，求实数的取值范围；

（2）若直线
，直线
与曲线
切于点且交曲线
于点，直线
和与曲线
切于点且交曲线
于点，记点
的横坐标分别为
，求
的值．

20．（本小题满分16分）

已知公比为q（q ≠ 1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．

（1）若q = ，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，… ，bk，使得a1，b1，b2，… ，bk ，a2 ，a3成等差数列，求这k个数；

（2）对于任意给定的正整数m，在a1， a2 ，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；

（3）当且仅当q取何值时，在数列{an}的每相邻两项ak ，ak+1之间插入ck（k∈N*，

ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及 {cn}的通项公式（用q表示）．

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2014宿迁市考前模拟试卷

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答．若多做，则按作答的前两题评分．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，四边形
内接于
，AC平分
，过点的切线交
的延长线于点．求证：
．

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知圆
在矩阵
对应的变换作用下得到椭圆
，求矩阵
的特征值和特征向量．

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线
．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为
（为参数），直线与曲线分别交于点
．写出曲线的直角坐标方程并求出线段
的长度．

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知不等式
的解集为，记中的最大元素为T，若正实数
满足
，求
的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

已知抛物线C：y2 = 2px（p＞0）上的一点M（2，m）（m＞0），M到焦点F的距离为  ，A、B是抛物线C上异于M的两点，且MA⊥MB．

（1）求p和m的值；

（2）问直线AB是否恒过定点？若过定点，求出这个定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

23．（本小题满分10分）

设正整数
满足
，
为集合
的元子集，且
．

（1）若
，，满足
．

（i）求证：
； （ii）求满足条件的集合
的个数；

（2）若
中至多有一个元素，求证：
．

数学参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案

直接填写在答题卡相应位置上．

1．
2．
3． 220 4．
5．25 6．
7．
8．

9．
10．
11．
12．
13．
14．

二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：（1）因为
，所以
， …………………2分

又
，所以
， ………………… 4分

所以

； ………………………7分

（2）在
中，由正弦定理，得
，即
，

解得
， ………………………10分

故
，从而在
中，由余弦定理，得

所以
，
． …………………………14分

16．证明:（1）连结
交AC于点O，

因为三棱柱
为正三棱柱，

所以四边形
是正方形，所以是BD的中点，

又点是
的中点，

所以
， ………………………4分

而
，

所以直线
∥平面
； ………………………………………7分

（2）连结
，设
，

在三角形
中，
，
，
，

所以
，

所以
，

因为三棱柱
为正三棱柱，所以
，
，

而
，所以
，

又
，所以
，

因
，所以
，

又
， ………………………………… 11分

所以
，

又
，

所以平面
平面
． ………………………………………14分

17．解：（1）设圆锥纸筒的容积为，则
，

由该圆锥纸筒的容积为π，则
，即
，

故r与h满足的关系式为
； ………………………………4分

（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小， 设该纸筒的侧面积为，则
，其中为圆锥的母线长，且
，

所以
（
）， ……………8分

设
（
），

由
，解得
，

当
时，
；当
时，
；

因此，
时
取得极小值，且是最小值，此时
亦最小；……12分

由
得
，

所以最省时
的值为
． ………………14分

18．解：（1）设右焦点
，则
，

由
得
，

又当直线
轴时，
的横坐标为，代入
得
，

则
，解得
，

所以椭圆的方程为
； ………………………………4分

（2）
为定值
，证明如下：

由
及直线
，
的斜率分别为
，
，

得直线
，
的方程分别为
， …………6分

设
，

则
在曲线
上，

化简得
，

又因为
在椭圆上，则