本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非
选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集
,集合
,
,

则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

2.函数
的定义域是（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知
为虚数单位,若复数
满足
,则
的共轭复数是( )

A．
B．
C．
D．

4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；

②在线性回归分析中，相关系数
越小，表明两个变量相关性越弱；

③已知随机变量
服从正态分布
，且
则

④
某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.

A．1 B．2 C．3 D．4

5.已知锐角
满足：

，则
的大小关系是（
）

A．
B．
C．
D.

6.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的
的值是（ ）

A．
B．

C．
D．

7.等比数列
是递减数列，其前
项积为
，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

8.已知在二项式
的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )

A. 1 B. 2
C. 3 D. 4

9. 已知函数
，
，过点
的直线
与
的图像交于
两点，则
的最大值为（ ）

A. 1 B.
C.

D.

10.如图，过原点的直线
与圆
交于
两点，点
在第

一象限，将
轴下方的图形沿
轴折起，使之与
轴上方的图形成

直二面角，设点
的横坐标为
，线段
的长度记为
，则

函数
的图像大致是( )[来源:学,科,网Z,X,X,K]

[来源:Z+xx+k.Com]

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，
本题共5分.

11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )

A.
B.
C.

D.

11（2）．（不等式选讲选做题））若存在
,使
成立,则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.

12.已知
为单位向量，当
的夹角为
时，
在
上的投影为 .

13.若一组数据
的中位数为
，则直线
与曲线
围成图形的面积为 .

14.已知双曲线
和双曲线
，其中
，且双曲线
与
的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线
的离心率是 .

15.对于定义在
上的函数
，若存在距离为
的两条直线
和
，使得对任意
都有
恒成立，则称函数
有一个宽度为
的通道.给出下列函数：

①
；②
；③
；④

其中在区间
上通道宽度可以为
的函数有 (写出所有正确的序号).

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

如图，设
，
，…，
为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量
．

（1）求
的概率；

（2）求
的分布列及数学期望
．

[来源:Z.xx.k.Com]

17.(本小题满分12分）

在
中，
.

(1)求角
的大小；

(2)已知
分别是内角
的对边，若
且
求
的面积.

18．（本小题满分12分）

若数列
的前
项和为
，对任意正整数
都有
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
且对任意正整数
都有
,

求证：对任意
.

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面ABCD是平行四边形，
，
，

面
，设
为
中点，点
在线段
上且
．

（1）求证：
平面
；

（2）设二面角
的大小为
，若
，

求
的长．

[来源:Z&xx&k.Com]

20.（本小题满分13分）

已知椭圆

的左焦点
与抛物线
的焦点重合，直线
与以原点
为圆心,以椭圆的离心率
为半径的圆相切.

（1）求该椭圆
的方程；

（2）过点
的直线交椭圆于
两点，线段
的中点为
，
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点．记

的面积为
，

的面积为
．试问：是否存在直线
，使得
？说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（其中
为常数）.

(1)当
时，求函数的单调区间；

（2）当
时，对于任意大于
的实数
，恒有
成立，求实数
的取值范围；

(3)当
时，设函数
的3个极值点为
，且
.

求证：
＞


[来源:学&科&网Z&X&X&K]

三、填空题：

12.
【解析】
在
上的投影为：

13.
【解析】由中位数的定义可得

，∴直线
与曲线
围成图形的面积

.

14.
【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为

所以，
．
(4分)

（2）
的所有可能取值为
，
，
．

的为顶角是
的等腰三角形（如△
），共6种，

所以，
． (6分)

的为等边三角形（如△
），共2种，

所以，
，

( 8分)

(2)

,

， (8分)

①当
时,

(10分)

②当
时,由正弦定理可得
,

又由余弦定理
可得
分)

当
时，

， (9分
)

(10分)

. (12分)

，

所以
，取
． (9分)

由
，得
．

，
，所以
. (12分)

20. 【解析】(1) 依题意，得
,

即

所求椭圆
的方程为
. (5分)

△
∽△
，

即

又

, (11分)

所以
，

整理得
,因为此方程无解，

所以不存在直线
，使得
． (13分)

21．【解析】(1)

当
时，
，
，

∴ 函数
的递增区间有
和
，递减区间有
，
，
，

此时，函数
有3个极值点，且
；

∴当
时，
是函数
的
两个零点，

上单调递增,

∴当
时，
. (14分)