一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）

1．已知复
数
，则
所对应的点位于复平面的（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列函数中，其中最小正周期为
，且图象关于点
中心对称的是（　）

A．
B．

C．
D．

3．函数
是定义
在
的偶函数，则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

4. 若函数
的定义域为R，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．

D．
[来源:学科网]

5．已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为( )

A．
B．
C．
D．

6．在△ABC中，若
，则△ABC是( )

A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1
A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论

①C1M
平面A1ABB1；②A1B
AM；③平面AMC1//平面CNB1.

其中正确结论的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

8．函数
在
上的最小值是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3[来源:Z*xx*k.Com]

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11．已知四点
，则向量
在向量
方向上的射影为 ．

12．在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若
在
内取值的概率为0.4，则
在
上取值的概
率为 [来源:Zxxk.Com]

13．某几何体的一条棱长为
，在该几何体的主视图中，这条棱的投影的投影长为
的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为
和
的线段，则
的最大值为

14．已知
且
。若


则
的取值范围是________。

三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做只按其中第一题评分,本题共5分.

15.(1)（坐
标系与参数方程选做题)在直角坐标
中，以原点O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
(
为参数，)
与
的交点的直角坐标为 .

(2)(不等式选做题)设
对任意实数

恒成立，则x取值集合是 .

四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知向量
记
.

（1）若
，求
的值；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是

、
、
，且满足
，若
，试判断△ABC的形状.

17．(本小题满分12分
)

甲、乙两个进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为
，乙在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立

⑴求甲在打的局数最少的情况下获胜的概率；

⑵求比赛停止时已打局数
的期望。

19．（本小题满分12分）

已知
，
是方程

的两根，数列
是公差为正的等差数列，数列
的前
项和为
，且



．

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）记
=

，求数列
的前
项和

21．（本小题满分14分）

在直角坐标平面中，三角形ABC的两个顶点的坐标分别为
，
，两动点M，N满足
＝
，向量
与
共线.

（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；

（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求
·
的取值范围；

（3）若G（－a，0）、H（2a，0），Q为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数
，使得∠QHG＝λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

南康中学2013～2014学年度第二学期高三第五次大考

数学（理）参考答案

四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．解

……3分

（1） 由已知
得
，于是
，

∴
………………6分

（2）
根据正弦定理知：

∵
……9分

∴
或

或
而

，

所以
，因此
ABC为等边三角形.
………………12分

18．（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线
就是对角线BD。

由于
，
,所以这实际上是一个正
方形.

所以曲线
的长度为
. …………6分

（2）当
时，点
恰好为AB的中点，所以P为
中点，

故点
到平面APB的距离与点
到平面APB的距离相等。连结AP、BP，OP.

由
且
知：
平面APB.从而平面
平面APB。

作
于H，则
平面APB。

所以，
即为点
到平面APB的距
离。

在
中，
，

所以
。

于是：
。

所以，点
到平面APB的距离为
。 …………12分

20．解：（1）当
时，

当
时，
，则
为增函数

当
时，
，则
为减函数

…………4分

（2）设切点为
，则

由
，有
，化简得
， …………7分

即
或
，…① 由
，有
，……②

由①、②解得
或
． …………9分[来源:学科网ZXXK]

（3）当
时，
，由（2）的结论直线
为曲线
的切线，
，
点
在直线
上，

根据图像分析，曲线
在直线
下方． …………11分

下面给出证明：当
时，
．

，

当
时，
，即
． …………12分[来源:学科网ZXXK]

，

，
．

要使不等式
恒成立，必须
．

又
当
时，满足条件
，

且
，因此，
的最小值为
． …………13分

21．（1）设
，由
，知，
是△ABC
的重心，
。

又
且向量
与
共线，
在边AB的中垂线上，
。

而
，
，即
…………4分

（2）设
，过点
的直线方程为
，代入

得
，
，即
。

。
。

。 ………………9分

（3）设
，则
，即
。

当
轴时，
，即∠QHG＝2∠QGH，故猜想
。

当QH不垂直x轴时，
，

。

又
与
同在
内，
。

故存在
，使
恒成立。 …………14分