第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2.已知复数
在复平面内对应的点分别为
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的
，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )

A．600 B．400 C．300 D．200

4.已知双曲线的方程为
，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（其中c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（ ）

A．
B．1

C．
D．2

6. 函数
的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是（ ）

A.
B.

C.
D.

7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

8．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③②　

C．④①②③　 D．③④②①

9.在圆
内任取一点，则该点恰好在区域
内的概率为

A．
B．
C．
D．

10在△ABC中，D为边BC上一点，DC =2BD，AD=
，ADC=45°，若AC=
AB，则BD等于（ ）

A.4. B.
C.
D.

11.点S,A,B,C是球O的球面上的四个点,S,O在平面ABC的同侧，∠ABC=120°,AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，若三棱锥S-ABC的体积为
,则该球的表面积为（ ）

A.18π B.16π C. 20π D. 25π

12.已知点
，是函数
图象上不同于
的一点.有如下结论：

①存在点使得
是等腰三角形；②存在点使得
是锐角三角形；

③存在点使得
是直角三角形.

其中，正确的结论的个数为( )

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.设向量
，
，如果向量
与
平行，那么
·
等于

14.为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策，将5名大学生村官分配到某个镇的3个村就职，每镇至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种．

15．直线l过椭圆
的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O 为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　 　．

16.已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍（纵坐不变），再向右平移
个单位长度得到函数
的图象，则关于
有下列命题，其中真命题的序号是

①函数
是奇函数；

②是函数
的一个周期；

③函数
的图像关于点(π，0)中心对称；

④函数
的最大值为
.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

根据下列算法语句，将输出的A值依次分别记为a1，a2，…，an，…，a2 014

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令
，若数列{bn}的前n项和
，证明：对于任意的
(n≤2 014),都有

18．（本小题满分12分）

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆结束在12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由.

19. （本小题满分12分）

如图，一个几何体是由圆柱OO'和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2

(Ⅰ)求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)求二面角A-BD-C的大小.

20.（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

21. （本小题满分12分）设函数

(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和
是函数
的两个不同零点，且
，求.

(II) 若对任意
, 都存在
(e 为自然对数的底数)，使得
成立，求实数的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（Ⅰ）求证：F是BD的中点；

（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为
.

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线
的参数方程为

（t为参数），直线
与圆C相交于A，B两点，已知定点
, 求|MA|·|MB|．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）若不等式
的解集为
，求实数a的值；

（2）在（I）的条件下，若不等式
的解集非空，求实数k的取值范围。

太原五中高三数学(理科)第三次模拟考试答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

A

A

B

A

A

C

C

C

B



二、填空题

13. .
14 90 15
16.①③④

三、解答题

17、解（Ⅰ）由已知，当n≥2时，

-1

而

所以数列{
}的通项公式为
-1

（Ⅱ）由知
-1,

18、解：（Ⅰ）∵
，

由甲图知，甲组有
（人），∴乙组有20人．

又∵
，

∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人

乙组有
（人）

∴

即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．

（Ⅱ）由乙图知，乙组在
之间有
（人）

在
之间有
（人）

∴
的可能取值为0,1,2,3

，

，

，

∴
的分布列为

0

1

2

3

















数学期望
．

（Ⅲ）

甲组学生准确回忆音节数共有：
个

故甲组学生的平均保持率为

乙组学生准确回忆音节数共有：

个

故乙组学生平均保持率为
，

所以临睡前背单词记忆效果更好.

19、解：

.

20、（Ⅰ）由已知得M(－，0)，C(2，0)．

设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|＝．

于是|CR|＝＝，

所以|CM|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2．

故抛物线E的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）设N(s，t)．

P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．

圆D方程为(x－)2＋(y－)2＝，

即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0． ①

又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0． ②

②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0． ③

P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．

因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝．

故点N坐标为(，)或(，－)．

21、（Ⅰ）
，∵
是函数
的极值点，∴
.∵1是函数
的零点，得
，

由
解得
. ………2分

∴
,
，

令
，
，得
； 令
得
，

所以
在
上单调递减；在
上单调递增.……4分

故函数
至多有两个零点，其中

，

因为
，

，所以
，故
．……6分

（Ⅱ）令
，
，则
为关于
的一次函数且为增函数，根据题意，对任意
，都存在
，使得
成立，则
在
有解，

令
，只需存在
使得
即可，

由于
=
，

令
，
，

∴
在(1，e)上单调递增，
，………9分

①当
，即
时，
，即
，
在(1，e)上单调递增，∴
，不符合题意.

②当
，即
时，
，

若
，则
，所以在(1，e)上
恒成立，即
恒成立，∴
在(1，e)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

若
，则
，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得
，∴在(1，m)上
恒成立，即
恒成立，
在(1，m)上单调递减,∴存在
，使得
，符合题意.

综上所述，当
时，对任意
，都存在
，使得
成立.……12分

22、解：（Ⅰ）证:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴
，∵HE＝EC，∴BF＝FD ∴ F是BD中点.……………………(5分)

（Ⅱ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线……………………………………………(10分)