一、选择题：本大题
共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．

1、已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则
复数
的模为（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．

D．

3、已知等差数列
中，
是方程
的两根，则
（ ）[来源:学_科_网]

A．
B．
C．1007 D．2014

4、下列关于统计的命题，真命题的序号为（ ）

①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4

的样本，已知7号、33号、46号的同学在样本中，则样本中另一个同学编号为25号；

②数据：1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；

③数据：
，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则标准差为2；

④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据，所得回归直线方程
中，
，则
。

A．①② B．②④ C．①③ D．③④

5、一个几何体的三视图如图所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个点在空间坐标系
中的坐标分别为
，则第5个顶点的空间坐标可能为（ ）

A．
B．

C．
D．

6、已知实数x,y
满足条件
，若目标函数
的最大值为9，则
的最小值为（ ）

A．
B．16 C．4 D．

7、如果函数
没有零点 ，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱上的点，

则满足
的点P的个数有（ ）

A．4 B．6

C．8 D．12

9、已知双曲线
的左焦点为F，若该双曲线上存在点P，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF相切于PF的中点Q，则该双曲线的离心率
（ ）

A．2 B．
C
．
D．

10、在
中，
，点M为AB的中点，点P从B→C→D（含端点），设
，

记
，则函数
的图象大致为（ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.把正确答案填在题中相应的横线上.

11、连续两次抛掷一颗正方体骰子，“A表示第一次点数为6点”“B表示两次点数之和为偶数”，

则

12、非零向量
满足
，则
与
的夹

角
大小为

13、如图所示的算法框图，输出的结果为 .

14、函数
的定义域为D，若存在闭区间
，

使得函数
满足：

（1）
在
内是单调函数；

（2）函数
在
上的值域为
，则 区间

为函数
的“完美区间”，则下列函[来源:Z&xx&k.Com]

数存在“完美区间”的函数的序号为

①
； ②
；

③
； ④
。

15、不等式
的解集为
，则实数
的值为

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．

16、（本小题满分12
分）[来源:Zxxk.Com]

在
中，

⑴求
面积的最大值。

⑵若
的周长为
，求
的值；

17．（本小题满分12分）

设O是坐标原点，点P的坐标
.

（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现将此盒中有放回地先后抽到两张卡

片的标号分别记为
，求
的最大值，并求事件“
取到最大值”的概率；

（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为
，求P在第一象限的概率。

18、（本小题满分12分）

已知数列
满足

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
（
且
），数列
的前
项和为
，若
恒为[来源:学科网]

常数，求
的值。

19、（本小题满分12分）

如图，已知多面体
，三条棱
两两垂直，平面
平面
，

平面
//平面

（1）求证：
平面
；

（2）求多面体
的体积。

20、、(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝
x
2－(a＋3)x＋3alnx, (a∈R)．

（1）若f(x)的图象在x＝1处的切线为l: y＝b，求a, b的值及f(x)的单调区间；

（2）对于定义在正实数集R＋上的函数S(x), T(x), 若对任意x2＞x1＞0，均有

S(x2)－S(x1)＞k[T(x2)－T(x1)]，(k∈R＋)，则称函数S(x)是T(x)的“超k倍速”函数，已

知函数f(x)是g(x)＝－x，(x∈R＋)的“超3倍速”函数，
求a的取值范围．

南康中学2013～2014学年度第二学期高三第五次大考

数学试卷（文科）参考答案 2014.4.24
17.解：（1）记抽到的卡片号为
，则所有的可能9种，最
大值为
………………5分

满足的事件为（1，3），（3，1），故概率
………6分

（2）设事件B为“P点在第一象限”。
，

则其所表示的区域面积为
，由题意，事件B满足：

，如图所示，故
，

概率
. …………………………12分

19. (1)平面

………6分

(2)
………………………12分

（2）∵f(x)是g(x)的“超3倍速函数”

∴对(x2＞x1＞0有f(x2)－f(x1)＞3(x1－x2)

(f(x2)＋3x2＞f(x1)＋3x1 ……………………………………………7分

(((x)＝f(x)＋3x在(0, ＋∞)上是增函数……………………………8分

由于( ' (x)＝x－a＋

于是对(x＞0，(
' (x)≥0恒成立. ……………………………………9分

（法一）：令h(x)＝( ' (x)＝x－a＋

1°)当a＜0时，显然h(x)在(0, ＋∞)上是增函数

且x→0，h(x)→－∞，不合题意 ……………………
…………10分

2°)当a＝0时，

对(x＞0，h(x)＝x＞0符合题意 ………………………11分[来源:学科网]

3°)当a＞0时，

h(x)＝x＋
－a≥2
－a
(当且仅当x＝
时等号成立）

∴2
－a≥0得
0＜a≤12 ……………………………………………12分

综上得a的取值范围是：0≤a≤12 ……………………………………………13分

（法二）：对(x＞0，( ' (x)≥0(x2－ax＋3a≥0 ……………………………10分

令h(x)＝x2－ax＋3a 必有h(1)＝3a≥0，∴a≥0 ………11分

此时h(x)在(0, ＋∞)上的最小值为

h(
)＝3a－
………………………………………………………………12分

∴3a－
≥0 ∴0≤a≤12 ………………………13分

21. (1)

抛物线方程为:
………………4分

(2)设

设直线

由
得

………………………9分