数学理科答案

一、选择题：

1． D 2． D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A 8. C 9. A 10. B

二、填空题：

11．
12.  13. =-1 14. [－3,5] 15.②④⑤

三、解答题：

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理：

………………………………2分

,又

………………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理得，

由余弦定理得，

………………8分

……………………………………10分

……………………………………………………………………12分

另解：

，

下解答同上.

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值

k≈4.582>3.841. ……2分

所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分

（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．

方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则

P(A∩B)
，P(A)
.

所以P(B|A)
 . ……7分

方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，

则P(C)
.

②由题知X的可能值为0，1，2.

依题意P(X0)
；P(X1)
；P(X2)
.

从而X的分布列为

X

0

1

2



P









 ……10分

于是E(X)0×＋1×＋2×. ……12分

18. （本小题13分）

解法一：（I）取
的中点
，连结
．

，
…………2分

，且
，

是正三角形，
,

又
,

平面
．

． …………………4分

（II）取
的中点，连结
．

分别为
的中点，

，且
．

∵四边形
是直角梯形，
且
，

且
． …………………………6分

∴四边形
是平行四边形．

．

平面
，
平面

平面
． …………………………8分

（III）延长
与
交点为，连结
．

过
作
于一定
，

连结
，则
．

为平面
与平面
所成锐二面角的平面角． …………10分

设
,则
,

．

又因为
,

平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
． …………13分

解法二：（I）同解法一

（II） ∵侧面
底面
，

又
，
底面
．

．

∴直线
两两互相垂直，

故以
为原点,直线
所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系
．

设
，则可求得

，

．

．

设
是平面
的法向量，则
且
．

取
，得
． …………6分

是
的中点，
．

．

．

．

平面
，

平面
． ………………………8分

（III）又平面
的法向量
，

设平面
与平面
所成锐二面角为
,

则
,…………10分

平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
．…………13分

19.（本小题12分）

解：（Ⅰ）

从第二项起为公比等于2的等比数列…………………………3分

（Ⅱ）

………………………………………6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

……………………………………………………………………8分

………………………………………………………………10分

……………………………………………………………………12分

20．（本小题13分）

解：（Ⅰ）设
，两切点为
，

由
得
，求导得
．

∴两条切线方程为
①
② ………2分

对于方程①，代入点
得，
，又
,

∴
整理得：
，

同理对方程②有
，即
为方程
的两根．

∴
③ ………………………………………4分

设直线
的斜率为
，
，

所以直线
的方程为
，展开得：

，代入③得：

，∴直线恒过定点
． ……………… ………………………6分

另解：同上得两条切线方程为
①
②

得

∴AB方程为
即

∴直线恒过定点
． …………………6分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）的结论，设
，
，
，

且有
，

∴
，

∴

=
，

又∵
，

所以
.

即直线
的斜率倒数成等差数列．…………………13分

另解：设切线方程为

由

因为直线与抛物线相切

所以

………………①

知切线MA，MB的斜率是方程①的两个根

所以

又

即直线
的斜率倒数成等差数列．…………………13分

21．（本小题13分）

解：（I）

∴
…………………4分

（II）

在
上单调递减，在
上单调递增

在
内有唯一极小值，也就是
在
内的最小值

…………………8分

（III）由（II）知
且
在
上单调递减

∴
∴

∴
∴
………………（13分）