第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2.已知复数
在复平面内对应的点分别为
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若
等于 (
)

A．
B．
C．
D．

4.已知双曲线的方程为
，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（其中c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（ ）

A．
B．1

C．
D．2

6. 函数
的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是（ ）

A.
B.
[来源:学#科#网]

C.
D.

[来源:学&科&网]

7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

8．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③②　

C．④①②③　 D．③④②①

9. 右图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率
为 （ ）

A．
B．

C．
D．

10.在△ABC中，D为边BC上一点，DC =2BD，AD=
，
ADC=45°，若AC=
AB，则BD等
于（ ）

A.4 B.
C.
D.

11.点S,A,B,C是球O的球面上的四个点,S,O在平面ABC的同侧，∠ABC=120°,AB=BC=2,平面SAC⊥平面ABC，若三棱锥S-ABC的体积为
，则该球的表面积为（ ）

A.18π B.16π C. 20π D. 25π

12.已知点
，
是函数
图象上不同于
的一点.有如下结论：

①存在点
使得
是等腰三角形；

②存在点
使得
是锐角三角形；

③存在点
使得
是直角三角形.

其中，正确的结论的个数为( )

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.设向量
，
，如果向量
与
平行，那么
·
等于

14. 若实数x，y满足不等式组
，则
的最小值是 。

15．直线l过椭圆
的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O 为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　 　．

16.已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
倍（纵坐不变），再向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则关
于
有下列命题，其中真命题的序号是

①函数
是奇函数；

②
是函
数
的一个周期；

③函数
的图像关于点(π，0)中心对称；

④函数
的最大值为
.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

根据下列算法语句，将输出的A值依次分别记为a1，a2，…，an，…，a2 014

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令
，若数列{bn}的前n项和
，证明：对于任意的
，都有
(n∈N*，n≤2 014)

18．（本小题满分12分）

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研
究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆结束在12,20
)范围内的学生中随机选2人，求2人都在同一范围（
或
）的概率。

（3）从本次实验的结果来看，上述两种。时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

19. （本小题满分12分）

如图，一个几何体是由圆柱OO'和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2

(Ⅰ)求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)求
到平面
的距离。

20.（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O
为原点）三点共线，求点N的坐标．

21. （本小题满分12分）

已知函数
，
（其中
）．

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
内有两个零点，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当
时，
．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（Ⅰ）求证：F是BD的中点；

（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆锥曲线C：
和定点
,
是此圆锥曲线的左、右焦点。

（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
的极坐标方程；

（2）经过点
，且与直线
垂直的直线
交此圆锥曲线于
两点，求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）若不等式
的解集为
，求实数a的值；

（2）在（I）的条件下，若不等式
的解集非空，求实数k的取值范围。

太原五中高三数学(文科)第三次模拟考试答案

一、选择题

题号

1

2

3
[来

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

D

A

A

B

A

A

C

C

C

B



二、填空题

13. .
14 4
15
16.①③④

三、解答题

17、解（Ⅰ）由已知，当n≥2时，

-1

而

所以数列{
}的通项公式为
-1

（Ⅱ）由知
-1

18、解：（Ⅰ）∵
，

由甲图知，甲组有
（人），∴乙组有20人．

又∵
，

∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人

乙组有
（人）

∴

即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．

（Ⅱ）

（Ⅲ）参考答案：

甲组学生准确回忆音节数共有：
个

故甲组学生的平均保持
率为

乙组学生准确回忆音节数共有：

个

故乙组学生平均保持率为
，

所以临睡前背单词记忆效果更好.
（只要叙述合理都给分）

19.如图，一个几何体是由圆柱OO'和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2

(Ⅰ)求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)求
到平面
的距离。

19、解：

.

(1)略（2）

20、（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

20、（Ⅰ）由已知得M(－，0)，C(2，0)．

设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|＝．

于是|CR|＝＝，

所以|CM|＝＝＝3，即2＋
＝3，p＝2．

故抛物线E的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）设N(s，t)．

P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．[来源:学。科。网]

圆D方程为(x－)2＋(y－)2＝，

即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0． ①

又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0． ②

②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0． ③

P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．

因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝．

故点N坐标为(，)或(，－)．

21、已知函数
，
（其中
）．

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
内有两个零点，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当
时，
．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）.

【答案】解： （Ⅰ）
，

∴
（
，
），

由
，得
，由
，得
，

故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以函数
的极小值为
，无极大值． 3分

（Ⅱ）函数
，

则

，

令
，∵
，解得
，或
（舍去），

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增．

函数
在区间
内有两个零点，

只需
即
∴

故实数a的取值范围是
． 7分

（Ⅲ）问题等价于

．由（Ⅰ）知
的最小值为
．[来源:Zxxk.Com]

设
，
得
在
上单调递增，在
上单调递减．

∴
，

∵

=
，

∴
，∴
，故当
时，
． 12分

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（Ⅰ）求证：F是BD的中点；

（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．

22、解：（Ⅰ）证:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴
，∵HE＝EC，∴BF＝FD ∴ F是BD中点.……………………(5分)

（Ⅱ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线……………………………………………(10分)

(说明：也可证明△OCF≌△OBF(从略,仿上述评分标准给分))

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆锥曲线C：
和定点
,
是此圆锥曲线的左、右焦点。

（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
的极坐标方程；

（2）经过点
，且与直线
垂直的直线
交此圆锥曲线于
两点，求
的值.

23、解：(1)
(2)

【解析】

试题分析：（1）C：
，轨迹为椭圆，其焦点a,

,
,

即
,即

（2）由（1）
，

,

的斜率为
，倾斜角为300

所以
的参数方程为
（t为参数）,

代入椭圆C的方程中，得：

因为