天津市天津一中2014届高三下学期5月月考数学文试卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1．复数
的值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．已知命题
则
是（ ）

A、
B、
C、
D、

3．在下面的程序框图中，输出的数
（ ）

（A）25 （B）30 （C）55 （D）91

4．函数
的零点一定位于下列哪个区间（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知双曲线
的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知函数

的最小正周期为，则该函数的图象（ ）

A．关于
对称 B．关于
对称　

C．关于
对称 D．关于
对称

7．设f(x)=

则不等式
的解集为 （ ）

A．（1，2）（3，+∞） B．（
，+∞）

C．（1，2）（
，+∞） D．（1，2）

8．已知函数
，若实数
使得
有实根，则
的最小值为 （ ）

(A)
（B）
（C） 1 （D）2

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上）

9．设集合
,
,则集合

=

10．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是

11．若直线
的圆心，则
的最小值是________________

12．在平行四边形ABCD中，已知|
|=2，|
|=1，∠BAD=60°，点E是BC的中点，AE与BD相交于点P，则
________________

13．如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交 PA 于点F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，则PF = _________

14．设
是定义在R上的奇函数，且当
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数t的取值范围是

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分13分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组
；第二组
……第五组
．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒

认为良好，求该班在这次百米测试中

成绩良好的人数；

（II）设
、表示该班某两位同学的百米

测试成绩，且已知
.

求事件“
”的概率.

16．（本小题满分13分） 已知函数
．

（1）求
的最小正周期和值域；

（2）若

为
的一个零点，求
的值．

17．（本小题满分13分）如图，已知
⊙O所在的平面，
是⊙O的直径，
，C是⊙O上一点，且
，
与⊙O所在的平面成
角，是
中点．

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ) 求
与面
所成角的正切值；

（Ⅲ）求异面直线PB与AC所成角的余弦值.

18．（本小题满分13分）已知数列
的前项和为
，对一切正整数，点
都在函数
的图像上，且过点
的切线的斜率为
．

（1）求数列
的通项公式． （2）若
，求数列
的前项和
．

（3） 设
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求
的通项公式.

19．（本小题满分14分）已知焦点为
，
的椭圆经过点
，直线
过点
与椭圆交于、两点，其中
为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求
的范围； （III）若直线
的斜率存在且不为零，向量
与向量
平行，求
的值及
的外接圆的方程。

20．（本小题满分14分）已知函数

(1)若
时,试求函数
的单调递减区间;

(2)若
,且曲线
在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线
上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；

(3)如果对于一切
、
、
，总存在以
、
、
为三边长的三角形，试求正实数的取值范围。

五月考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A

二、填空题

9．
10．30 11．16

12．1 13．
14．

三、解答题

15．解：（1）由直方图知，成绩在
内的人数为：
（人）

所以该班成绩良好的人数为27人.

（2）由直方图知，成绩在
的人数为
人，

设为、、；成绩在
的人数为
人，设为、、
、.

若
时，有
3种情况；

若
时，有
6种情况；

若
分别在
和
内时，

A

B

C

D



x

xA

xB

xC

xD



y

yA

yB

yC

yD



z

zA

zB

zC

zD



共有12种情况.

所以基本事件总数为21种，事件“
”所包含的基本事件个数有12种.

∴P（
）=

16． 解：

（1）易得

＝
，

所以
周期，值域为
；

（2）由
得
，

又由
得

所以
故
，（11分）

此时，

．

17．(Ⅰ)证明：
AE⊥面PBC，　

AE⊥PB

(Ⅱ)

即为PB与面PAC所成角

在
中，

（Ⅲ）过B作AC的平行线BD交圆于D.
为两异面直线所成的角.

BD=
，PB=
，PD=2，

18．解：（1）点
都在函数
的图像上，
,

当
时，

当ｎ＝1时，
满足上式，所以数列
的通项公式为

（2）由
求导可得

过点
的切线的斜率为
，
.

.

①

由①×4，得

②

①-②得：

（3）
,
.

又
，其中
是
中的最小数，
.

是公差是4的倍数，
.

又
，
,解得ｍ＝27.

所以
，

设等差数列的公差为
，则

，所以
的通项公式为

19．解：（1）设椭圆方程为
，点
在椭圆上，
，

所以

所以
，又
，所以
，于是，椭圆方程为

（2）①若直线
的斜率
不存在，即直线
与轴垂直，此时、两点的坐标分别为
，
，则
=

②若直线
的斜率
存在，设直线
的方程为
，此时
，
满足
，消去，得
，易知
，

而
，

则
=
=
（）

令
，故
，易知
（否则
不存在），

于是
，由
，得
，即

综合①②，

（3）
=
=
=

由
与向量
平行，得

解得
（舍去），
，此时由（）得

所以
⊥
，此时
的外接圆的圆心
为线段
的中点
，即
，半径
，此时，
的外接圆的方程

20．