数 学（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、在复平面内，复数z=
（其中
为虚数单位）对应的点不可能位于（ ）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限



2、设P=
，则（ ）

A、PQ

B、QP

C、CRPQ

D、QCRP



3、设函数
，则“
在区间[1，2]上有两个不同的实根”是“2＜＜4”的.

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件



C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件



4、若
＜＜
是R上的偶函数，则
（ ）

A、

B、

C、

D、





5、一个几何体的三视图如图

所示，主视图和侧视图都是等边

三角形，若该几何体的四个顶点

在空间直角坐标系
中的坐

标分别是（0，0，0），（2，0，0），

（2，2，0），（0，2，0），则第五

个顶点的坐标可能为（ ）

A、（1，1，1）

B、（1，1，
）

C、（1，1，
）

D、（2，2，
）



6、给出如图所示的程序框图，那么输出

的数是（ ）

A、2550

B、2450



C、5050

D、4900



7、设不等式组
表示的平面

区域为D，若指数函数
的图象上存在区域

D上的点，则的取值范围是（ ）

A、（1，3]

B、[2，3]



C、（1，2]

D、[3，+∞）



8、已知双曲线
＞0，
＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）

A、

B、

C、

D、



9、六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻，在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ）

A、

B、

C、

D、





10、已知函数
= 若
互不相等，且
，则

的取值范围为（ ）

A、（
）

B、（
）



C、（
）

D、（
）





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、在
的二项式展开式中，常数项为28，则实数的值是 .

12、在△ABC中，B=90°，AB=BC=1，点M满足于
，则有
= .

13、已知函数
＞0,＞0)的最小正周期为2，且
，则函数
的图象向左平移
个单位后所得图象的函数解析式为 .

14、过函数
图象上一点M作切线
与轴和直线
分别交于点P、Q，点N（0，1），则△PQN面积的最大值为 .

15、将正整数12分解成两个正整数的乘积有：1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解，当
是正整数的最佳分解时，我们规定函数
，例如
，关于函数
有下列叙述：

①
②
③
④

其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）.

16、（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
.

（1）求
的值；

（2）若
=2，且
.

17、（本小题满分12分）在等差数列
中，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
是首项为1，公比为c的等比数列，求数列
的前项和Sn.

18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵.晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：

（1）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望.

19、（本小题满分12分），如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，

∠BAA1=60°.

（1）证明：AB⊥A1C

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，

求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

20、（本小题满分13分）已知椭圆C：
＞
＞0）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P（4，0），A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与X轴相交于定点Q；

（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求
的取值范围.

21、（本小题满分14分）已知函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对任意
，都有
＜
成立，求实数的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数的取值范围.

数学（文理）参考解答

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

A

C

B

A

D

A

B



二、填空题

11、±1（理），
（文）

12、3

13、
（理）， 3（文）

14、
（理），
（文）

15、①③（理），
（文）

三、解答题

16、（理）（1）由已知和正弦定理得

从而

即

因为
所以
又

故

（2）由
可得
又
故

又

∴

解得

（文）（1）由条件及正弦定理得

从而
即

∵0＜c＜ ∴

（2）由（1）知

∴

∵0＜A＜
∴
＜A+
＜

当
时，
取得最大值1。

此时

17、（理）（1）设等差数列
的公差为
，则

∴数列
的通项公式

（2）∵数列
是首项为1，公比为c的等比数列

∴
，即

∴

∴

当
时，

当
时，

（文）（1）因为
是首项为
，公差为
的等差数列，所以
，所以
。

（2）由题意知

所以

所以

18、（理）（1）由直方图得，轻度拥堵的路段个数是
，中度拥堵的路段个数是

（2）X的可能值为0，1，2，3。

则

∴X的分布置列为

X

0

1

2

3



p











∴

（文）（1）补全直方图（纵轴为0.2）（略）

由直方图可知：(0.1+0.2)×1×20=6

(0.25+0.2)×1×20=9

(0.1+0.05)×1×20=3

∴轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个

（2）由（1）知拥堵路段共有18个

三个级别路段中分层抽样的个数分别为

（3）设（2）中选取2个轻度拥堵路段为A1、A2，选取3个中度拥堵路段为B1、B2、B3，选取1个严重拥堵路段为C1。

则从6个路段选取2个路段的可能情况为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的情况有9种可能，∴所选2个路段中至少有1个轻度拥堵的概率为

19、(理)（1）如图，取AB的中点O，连接OC

OA1，A1B

∵CA=CB，∴OC⊥AB

∵AB=AA1，∠BAA1=60°

∴△AA1B为正三角形

∴OA1⊥AB

∵OC∩OA1=o，∴AB⊥平面OA1C

又A1C平面OA1C，∴AB⊥A1C

（2）由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB

又∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，∴OC⊥平面AA1B1B

∴OA，OA1，OC两两垂直

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，由题设知A（1，0，0），A1（0，
，0），C（0，0，
），B（－1，0，0），

则

设
是平面BB1C1C的法向量。

则：
即：
取

∴

∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为

（文）（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC

∴AD⊥BB1

故AD⊥平面BB1C1C

由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C

∴AD⊥C1E

（2）∵AC∥A1C1，∴∠A1C1E是异面直线AC、C1E所成的角

由题设∠A1C1E=60°，∵∠B1A1C1=∠BAC=90°

∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1

从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E

故C1E=
又

∴

∴
×A1C1=

20、（1）由题意知
∴
，即∴

又
，∴

∴椭圆C的方程为

（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为

由
得
①

设

直线AE的方程为

令
，得

将
，
代入整理

得
②

由①得
，
代入②整理

得

∴直线AE与轴交于定点Q（1，0）

（理）（3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为
，且
在椭圆C上，

由
得

可知△＞0。 ∴

则

∵
≥0，∴
≤
＜0

∴
）

当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为

解得

此时

综上
的取值范围是

21、（1）当
时，函数

得

∴当1＜＜2时，
＞0，函数
单调递增

当＜1或＞2时
＜0，函数
单调递减

∴函数
的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（－∞，1）和（2，+∞）

（2）由
，得

∵对于
，都有
＜
成立

即对于
，都有[
]max＜

∵
，其图象开口向下，对称轴为

①当
≤1，即≤2时，
在[1，+∞）上单调递减

∴

由
＜
，得＞-1，此时－1＜≤2

②当
＞1，即＞2时，
在[1,
]上单调递增，在(
)上单调递减

∴

由
＜
，得0＜＜8，此时2＜＜8

综上，实数的取值范围为（－1，8）

（3）设点
是函数
图象上的切点，则过点P的切线的斜率

∴过P点的切线方程为

∵点
在该切线上

∴

即

若过点
可作函数
图象的三条不同切线

则方程
有三个不同的实数解

令
，则函数
的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点

令
，解得
或

∵

∴必须
＜0，即＞2

∴实数的取值范围为（2，+∞）