数 学（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、已知集合A=
，B=
，则A∩CNB=（ ）

A、

B、

C、

D、



2、已知是虚数单位，则复数
所对应的点落在（ ）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限



3、“
是真命题”是“
是假命题”的（ ）

A、必要不充分条件

B、充分不必要条件



C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件



4、若
＜＜
是R上的偶函数，则
（ ）

A、

B、

C、

D、



5、一个几何体的三视图如图

所示，主视图与侧视图都是边长为

2的正三角形，俯视图为正方形，

则该几何体的全面积为（ ）

A、4





B、8





C、12





D、4+4







 6、某程序框图如图所示，若
，则该

程序运行后，输出的值为（ ）

A、7

B、15



C、31

D、63



7、一组数据从小到大的顺序排列为1，

2，2，，5，10，其中
，已知该数据的

中位数是众数的
倍，则该组数据的标准差

为（ ）

A、3

B、4



C、5

D、6



8、已知点M（
）
，若
的最小值为3，则的值为（ ）

A、－4

B、4

C、－3

D、3



9、如图，F1、F2是双曲线C1：

与椭圆C2的公共焦点，点A是C1 、C2在第一

象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率

是（ ）

A、

B、



C、

D、



10、定义在R上的函数
的单调增区间为（－1，1），若方程
恰有4个不同的实根，则实数的值为（ ）

A、

B、

C、1

D、－1





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、经过点（2，－1），且与直线
垂直的直线方程是 .

12、在△ABC中，B=90°，AB=BC=1，点M满足于
，则有
= .

13、已知函数

为常数A＞0，＞0）在闭区间[
]上的

图象如图所示，则
.

14、在边长为2的正方形ABCD内部

任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为 .

15、过函数
（0＜＜1）图象上一点M作切线
与轴和直线
分别交于点P、Q，点N（0，1），则△PQN面积的最大值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）.

16、（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
.

（1）求角C的大小;

（2）求
的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.

17、（本小题满分12分）已知
是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为
的前项和.

（1）求通项
及前项的Sn；

（2）设数列
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列
的通项公式
及其前项和Tn.

18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵.晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：

（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；

（2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

（3）从（2）中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.

19、（本小题满分12分），如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=
，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.

（1）证明：AD⊥C1E；

（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1—A1B1E的体积.

20、（本小题满分13分）已知椭圆C：
＞
＞0）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P（4，0），A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.

21、（本小题满分14分）已知函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对任意
，都有
＜
成立，求实数的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数的取值范围.

数学（文理）参考解答

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

A

C

B

A

D

A

B



二、填空题

11、±1（理），
（文）

12、3

13、
（理）， 3（文）

14、
（理），
（文）

15、①③（理），
（文）

三、解答题

16、（理）（1）由已知和正弦定理得

从而

即

因为
所以
又

故

（2）由
可得
又
故

又

∴

解得

（文）（1）由条件及正弦定理得

从而
即

∵0＜c＜ ∴

（2）由（1）知

∴

∵0＜A＜
∴
＜A+
＜

当
时，
取得最大值1。

此时

17、（理）（1）设等差数列
的公差为
，则

∴数列
的通项公式

（2）∵数列
是首项为1，公比为c的等比数列

∴
，即

∴

∴

当
时，

当
时，

（文）（1）因为
是首项为
，公差为
的等差数列，所以
，所以
。

（2）由题意知

所以

所以

18、（理）（1）由直方图得，轻度拥堵的路段个数是
，中度拥堵的路段个数是

（2）X的可能值为0，1，2，3。

则

∴X的分布置列为

X

0

1

2

3



p











∴

（文）（1）补全直方图（纵轴为0.2）（略）

由直方图可知：(0.1+0.2)×1×20=6

(0.25+0.2)×1×20=9

(0.1+0.05)×1×20=3

∴轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个

（2）由（1）知拥堵路段共有18个

三个级别路段中分层抽样的个数分别为

（3）设（2）中选取2个轻度拥堵路段为A1、A2，选取3个中度拥堵路段为B1、B2、B3，选取1个严重拥堵路段为C1。

则从6个路段选取2个路段的可能情况为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的情况有9种可能，∴所选2个路段中至少有1个轻度拥堵的概率为

19、(理)（1）如图，取AB的中点O，连接OC

OA1，A1B

∵CA=CB，∴OC⊥AB

∵AB=AA1，∠BAA1=60°

∴△AA1B为正三角形

∴OA1⊥AB

∵OC∩OA1=o，∴AB⊥平面OA1C

又A1C平面OA1C，∴AB⊥A1C

（2）由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB

又∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，∴OC⊥平面AA1B1B

∴OA，OA1，OC两两垂直

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，由题设知A（1，0，0），A1（0，
，0），C（0，0，
），B（－1，0，0），

则

设
是平面BB1C1C的法向量。

则：
即：
取

∴

∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为

（文）（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC

∴AD⊥BB1

故AD⊥平面BB1C1C

由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C

∴AD⊥C1E

（2）∵AC∥A1C1，∴∠A1C1E是异面直线AC、C1E所成的角

由题设∠A1C1E=60°，∵∠B1A1C1=∠BAC=90°

∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1

从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E

故C1E=
又

∴

∴
×A1C1=

20、（1）由题意知
∴
，即∴

又
，∴

∴椭圆C的方程为

（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为

由
得
①

设

直线AE的方程为

令
，得

将
，
代入整理

得
②

由①得
，
代入②整理

得

∴直线AE与轴交于定点Q（1，0）

（理）（3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为
，且
在椭圆C上，

由
得

可知△＞0。 ∴

则

∵
≥0，∴
≤
＜0

∴
）

当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为

解得

此时

综上
的取值范围是

21、（1）当
时，函数

得

∴当1＜＜2时，
＞0，函数
单调递增

当＜1或＞2时
＜0，函数
单调递减

∴函数
的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（－∞，1）和（2，+∞）

（2）由
，得

∵对于
，都有
＜
成立

即对于
，都有[
]max＜

∵
，其图象开口向下，对称轴为

①当
≤1，即≤2时，
在[1，+∞）上单调递减

∴

由
＜
，得＞-1，此时－1＜≤2

②当
＞1，即＞2时，
在[1,
]上单调递增，在(
)上单调递减

∴

由
＜
，得0＜＜8，此时2＜＜8

综上，实数的取值范围为（－1，8）

（3）设点
是函数
图象上的切点，则过点P的切线的斜率

∴过P点的切线方程为

∵点
在该切线上

∴

即

若过点
可作函数
图象的三条不同切线

则方程
有三个不同的实数解

令
，则函数
的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点

令
，解得
或

∵

∴必须
＜0，即＞2

∴实数的取值范围为（2，+∞）