本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卷上的文字信息，然后在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题(满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．集合
，
，是实数集，则

A．
B．
C．(0,1) D．（1，2）

2．已知
，则实数，分别为

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

3.下列命题中的假命题是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

4. 已知
，
，则

A．
B．
C．
D．

5． 曲线
在点（-1，-1）处的切线方程为

A.
B.

C.
D.

6． 如图，在一个长为，宽为2的矩形
内，曲线
与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形
内随机投一点（该点落在矩形
内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是

A．
B.
C.
D.

7．(ABC中，
，且
，则
长为

A．
B．
C．3 D．

8．把函数
的图像沿轴向左平移
个单位，所得函数
的图像关于直线
对称，则的最小值为

A．
　 B．
　　 C．
D．

9．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

 B． C． D． 

10．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．如图
是椭圆
：
与双曲线
的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是

A.
B.
C.
D.

12．已知曲线
与轴的交点为
，分别由
两点向直线
作垂线，垂足为
，沿直线
将平面
折起，使
，则四面体
的外接球的表面积为

A．
B．
C．
D．

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．在等差数列
中，
，其前项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为，且
，
．

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和．

18．（本小题满分12分）

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:
.

（Ⅰ）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分）

20．（本小题满分12分）

设点
，动圆经过点且和直线
相切．记动圆的圆心的轨迹为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ） 过点
的直线
与曲线
交于、两点，且直线
与轴交于点
,

设
，
，求证：
为定值.

21. （本小题满分12分）

已知函数
（
）.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，
取得极值.

① 若
，求函数
在
上的最小值；

②求证：对任意
，都有
.

[请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；

（Ⅱ）若AC=AP，求的值.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为
（为参数），曲线C2的极坐标方程为：
，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

(I)求|AB|的值；

(Ⅱ)求点M(-1，2)到A、B两点的距离之积．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

(I)求不等式
≤6的解集；

(Ⅱ)若关于的不等式
>恒成立，求实数的取值范围．

蒙自一中2014届高三5月考试

理科数学参考答案及评分标准

18.解: （Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率,

∴除
外的频率和为0.70,
.………3分

500名志愿者中,年龄在
岁的人数为
(人).……4分

（Ⅱ）用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,

“年龄不低于35岁”的人有8名.……5分

故
的可能取值为0,1,2,3.……6分

,
,

,
,……10分

故
的分布列为

0

1

2

3















所以
.……12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，

连接
，则
，
，

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点落在
上，

∴
，易求得
，

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
……………6分

（Ⅱ）解法一：作
，垂足为
，连接
，

∵
⊥平面
，∴
，又
，

∴
平面
，∴
，

∴
就是二面角
的平面角

中，
，

，
．

∴
．即二面角
的余弦值为
．

………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系
，可知平面
的一个法向量为

设平面
的一个法向量为

则，
可求得
． ………9分

所以
，

所以二面角
的余弦值为
． ……12分

20．（Ｉ）解：设动圆圆心
，由抛物线定义得：点轨迹
是以
为焦点以
为准线的抛物线，方程为
　　 ……4分

（Ⅱ）设直线
的方程为：

，

联立方程可得
得:
①

设
，
，
，

则
，
② ………8分

由
，
得，

，
………10分

即得：
，
，

则

代入得
，故
为定值且定值为
……12分

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）
…………1分

当
时，

解
得
或
, 解
得
…………3分

所以
单调增区间为
和
，单调减区间为
………4分

（Ⅱ）①当
时，
取得极值， 所以

解得
（经检验
符合题意）…………5分















+

0

-

0

+






↗



↘



↗



所以函数
在
，
递增，在
递减. ……6分

当
时，
在
单调递减，
…6分

当
时，
，

在
单调递减，在
单调递增，
.……8分

当
时，
在
单调递增，
……9分

综上，
在
上的最小值

………10分

②令
得
（舍）

因为

所以
………11分

所以，对任意
，都有
…12分

22．解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C

又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.

∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.∴∠ADE=∠AED ……5分

（Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴(APC∽(BPA,=,

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,

∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90o,∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,

在Rt(ABC中, =,∴= …………10分

23.解：(Ⅰ)
……2分

,则
的参数方程为：
（为参数），……4分

代入
得
，
，

.……6分

(Ⅱ)
. ……10分

24. 解：(I）原不等式等价于

或
……5分

解得
.即不等式的解集为

（II）
.
. ……10分