2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），

全卷满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．

1．复数
（
，
为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
，
，

集合
中所有元素之和为7，则实数
的取值集合为

A．
B．

C．
D．

3．已知命题
，命题
，
则

A. 命题
是假命题 B. 命题
是真命题

C. 命题
是真命题 D. 命题
是假命题

4．阅读程序框图，若输入
，则输出
分别是

A．
B．

C．
D．

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的
的值是

A．2 B.
C.
D. 3

6．数列
满足
，
，其前
项积为
，

则
=

A．
B．
C．
D．

7．有四个函数分别是：①
；②
；③
；

④
．对于满足：对定义域内的任意
，都有
的函数
有（ ）个.

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
为双曲线
右支上一点，且
在以线段
为直径的圆的圆周上，则双曲线
的离心率为

A．
B．
C．
D．

9．已知非零向量
的夹角为
，
，
，则
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

10. 如图二次函数
的图像过点
，

且与
轴相交于
两点，若
，则
的取值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．定积分
的值为 .

12．已知
的展开式中
的系数是35，则
= .

13．若不等式组
表示的平面区域是一个直角三角形，则实数
的值是 . [

14．代数式
（“
”表示无限重复）是一个固定的值，可以令原式
，由
解得
. 用类似的方法可得
= .

15．已知不等式
对任意正整数
恒成立，则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知
为锐角，且
．若
，
，函数
.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）若数列
的首项
，
，求数列
的前
项和
.

17．（本小题满分13分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.规定 PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.

某市环保局从过去一年的市区PM2．5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶). 10个数据中有
两个数据模糊，无法确认，但知道这10个数据的中位数为45.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）从这10个数据中抽取3天的数据，求至少有

1天空气质量超标的概率；

（Ⅲ）把频率当成概率来估计该市的空气质量情况，

记
表示该市空气质量未来3天达到一级的天数，求

的分布列及数学期望.

18．（本小题满分13分）

如图所示的平面四边形
中，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，
为正三角形，且
，
与
交于点
（如图甲）.现沿
将平面四边形
折成三棱锥
，使得折起后∠
（如图乙）.

（Ⅰ）证明：不论
在
内为何值，均有
；[来源:Z,xx,k.Com]

（Ⅱ）当三棱锥
的体积为
时，

求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分13分）

已知椭圆

的短轴端点分别为

（如图）．直线
分别与椭圆
交于
两点，其中点
满足
，且
.

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）证明：
所在直线与
轴交点的位置与
无关．

20．（本小题满分14分）

已知
,设函数
.

（Ⅰ）若
在
上无极值，求
的值；

（Ⅱ）若存在
，使得
是
在
上的最值，求
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若
（
为自然对数的底数）对任意
恒成立，求
的取值范围．

21．本题有（1）、
（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按照所做的前两题计分.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

设矩阵
，若存在一矩阵
使得
.

试求（Ⅰ）矩阵
； （Ⅱ）
．[来源:学科网ZXXK]

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
内，点
在曲线
（
为参数）上运动.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
两点，点
在曲线
上移动，求
面积的最大值.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知关于
的不等式
.

（Ⅰ）当
时，求此不等式的解集；

（Ⅱ）若此不等式的解集为
，求实数
的取值范围．

数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.

1-5 DDCAD 6-10 ABAAB

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分

11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分．

解：（Ⅰ）
,
,

………………………………4分

由

是锐角，

. ………………………7分

（Ⅱ）
，
， ………………………9分

,
,

是首项为
，公比
的等比数列,
…11分[来源:学,科,网Z,X,X,K]

. …………………………………13分

17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）由题意可知
解得
. ………………
……3分

（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为

至少有一天空气质量超标的概率为
. …………………7分

（Ⅲ）

………………………8分

的分布列为

P

0

1

2

3
















数学期望
. …………13分

18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空
间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）由
可知
既是等腰
也是等边
的角平分线，也是高，所以
⊥
，
⊥
…………………………2分

由于在平面图形中，
⊥
，
⊥
，折起后这种关系不变，且

所以折起后
⊥平面
， ……………………………4分

又
平面
，故
⊥
，

即不论
内为何值，均有
. …………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
⊥平面
，又

平面
，所以平面
⊥平面

过点
作
⊥
于点
，因为平面

平面

，[来源:学&科&网Z&X&X&K]

所以
⊥平面
，即
是三棱锥
的高，

在
中，
，

故三棱锥
的体积为
，

当三棱锥
的体积为
时，
，此时点E与点O重合.…9分

解法一：

由上面证明易得
⊥平面
，过
点作
⊥
于点
，连接
，

因为

平面
，所以
⊥
，又


=
，

所以
⊥平面
，

所以
⊥
，则∠
就是二面角
的平面角. ………11分

在
中，
=
，
=
，所以
=
，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

所以

所以二面角
的余弦值为
. …………………………1
3分

解法二：

根据上面的证明过程可知
、
、
两两垂直，

则分别以

、
、
所在的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则
（
，0，0），
（0，2，0），
（0，0，2），
，

设平面
的法向量为
则

. …………11分

又平面
的一个法向量
，

所以

显然所求角是锐二面角，

所以二面角
的余弦值为
. ………13分

19．本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）

，


. ………2分

又


即
，解得
. ……5分

（Ⅱ）直线
的斜率为
，直线
斜率为
.

直线
的方程为
，直线
的方程为
.…6分

由
得
，
.

……………………………………8分

由
得
，

……………………10分

据已知，
.

直线
的斜率

直线
的方程为
. ………12分

令
，得


与
轴交点的位置与
无关. …………13分

20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能
力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分．

解：（Ⅰ）
，又
在
无极值

…………………………
………………3分

（Ⅱ）①当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
在
的最小值为

②当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，

或

由
得：
在
时无解

③当
时，不合题意；

④当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，

或

即
或

或
（舍去）

⑤当
时，
在
单调递增，在
单调递减，

综上：
时，存在
，使得
是
在
上的最值. …………………………………………………8分

（Ⅲ）当
时，若
对任意
恒成立

即
对任意
恒成立

，

即
对任意
恒成立

令
，

,若

，即

则

，
，
. ……………………14分

21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分．

（Ⅰ）设矩阵
则由
得

即
整理得

解得
，即
………………4分

（Ⅱ）由（1）
知

所以
. ……………………7分

（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分．

解：（Ⅰ）曲线C的普通方
程为：

直线
的直角坐标方程：
. ……………………3分

（Ⅱ）圆心（1，0）到直线
的距离
，

则圆上的点到直线的最大距离为
=

，

所以
面积的最大值为
.……7分

（3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分．

解：（Ⅰ）当
时,得
, 即
, 解得
,

∴不等式的解集为
． ……………… 3分

（Ⅱ）∵
∴原不等式解集为R等价于
∴

∵
，∴
∴实数
的取值范围为
． …………… 7分