2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试

数
学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），

全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据
的标准差：
，
其中
为样本平均数；

柱体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；

球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设复数
（
为虚数单位），则复数
的虚部为[来源:学科网ZXXK]

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，若
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

3．已知下列命题：

①“
”为真，则“
”为真；

②函数
（
）的值域为
；

③命题“
，都有
”的否定为“
，
”．

其中真命题的个数为

A．
B．
C．
D．

4．已知
是不同直线，
是平面，
，则“
∥
”是“
∥
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图，在边长为
的正三角形内随机取一个点
，则点
在

此正三角形的内切圆的内部的概率为

A．
B．
C．
D．

6．在△
中，角
所对的边的长分别为
，
，

，则
等于

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
的相邻对称轴之间距离为
，点
是其图象的一个对称中心，则下列各式中符合条件的解析式是

A．
B．

C．
D．

8．某几何体的三视图如图
（其中侧视图中的圆弧是半圆）,

则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

9．已知

满足约束条件
，使
取得

最小值的最优解有无数个，则
的值为

A．
B．
C．
D．

10. 函数
的大致图象是

11. 已知抛物线
的焦点恰好是双曲线
的一个焦点，且两条曲线的交点连线过点
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

12. 设函数

且
，则
的所有零点之和为

A．
B．
C．
D．
[来源:Zxxk.Com]

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置.

13．右图中的程序执行后输出的结果是 ．

14．已知函数
是奇函数，则
的值等于

．

15．一水平放置的平面四边形
，用斜二测画法画出它的直

观图
如右图所示，此直观图恰好是一个边长为1

的正方形，则原平面四边形
面积为 ．

16．函数
，其中
，

若动直线
与函数
的图象有三个不同的交点，它们

的横坐标分别为
，则
的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

为了解某校高一学生的中考数学成绩，分别从甲

乙两班随机各抽取8名学生的中考数学成绩，获得如

右图所示的茎叶图.

（I）根据茎叶图的数据分别求甲、乙两个班所抽

8名学生的中考数学成绩的中位数和平均数，并根据

茎叶图的数据特征判断哪个班成绩更集中？

（II）根据茎叶图的数据从140分以上的学生随机

抽取两名学生参加“希望杯”数学邀请赛，求至少有

一名来自乙班的概率．

18．（本小题满分12分）

在等差数列
中，
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）将数列
的前
项抽去其中一项后，剩下的三项构成公比大于
的等比数列
的前三项，记数列
前
项的和为
，若对
任意
，使得
成立，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，点
是单位圆与
轴正半轴的交点，点
．

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）设点
为单位圆上的动点，点
满足
，

，
，求
的取值范围．

20．（本小题满分12分）

如图甲，⊙
的直径
，圆上两点
在直径
的两

侧，且

．沿直径
折起，使两个半圆所在

的平面互相垂直（如图乙），
为
的中点，
为

的中点．

根据图乙解答下列各题：

（Ⅰ）求证 ：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）在劣弧
上是否存在一点
，使得
∥平面
？

若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

设
是圆
上的动点，点
在
轴上的投影为
，

点
在
上，记点
的轨迹为曲线
．过原点斜率为
的直线

交曲线
于
两点（其中
在第一象限），
轴于点
，

连接
，直线
交曲线
于另一点
．

（Ⅰ）若
为
的中点，求曲线
的标准方程；

（Ⅱ）若点
满足
(
且
)，

求曲线
的方程．并探究是否存在实数
，使得对任意

，都有
．若存在，求出
的值；若不

存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数

．

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线与直线
平行，求
的值；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若存在
，使得
是
在
上的最小值，求
的取值范围．

[来源:学科网]

2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

1~5 ABCDA 6~10 CCDDA 11~12 BA

二、填空题

13．2 14．

15．
16．

三、解答题

17．（命题意图：本题考查茎叶图，中位数、平均数、方差以及用列举法计算随机事件的概率，考查了学生数据处理能力）

解：（Ⅰ）甲、乙两个班所抽
8名学生的中考数学成绩的中位数分别为137. 5分和132. 5分．

……………………………………………………2分

由茎叶图得甲班的8名学生的中考数学平均成绩为
分，

乙班的8名学生的中考数学平均成绩为
分 ……4分

从茎叶图中看出，乙班数据集中在
分段，甲班数据较分散，

所以乙班数学成绩更集中． ……………………6分

（Ⅱ）由茎叶图可知甲班140分以上的学生有3名，分别记为
，乙班140分以上的学生有2名，分别记为
从这5名中随机抽取两名学生参加“希望杯”数学邀请赛的基本事件有
共10种，…………………8分

其中抽取的2名学生至少有一名来自乙班的基本事件有

共7种． ………………………………………10分

∴所求事件的概率为
． …………………………………12分

18．（命题意图：本题考查数列与方程、不等式交汇，考查等差、等比数列的定义和通项公式，等比数列的前
项和等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想）

解：（Ⅰ）设公差为
，则
由
，
得

………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，
，

而
是公比大于1的等比数列

=1，
=2，
=4，

…8分

，又对任意
，使得
成立，

而
的最小值为1

………………………………12分

19．（命题意图：本题考查三角函数的定义、二倍角公式、两角差的正弦公式等三角函数的知识，考查了运算求解能力、化归
与转化思想）

解：（Ⅰ）
， ………………………2分

． ………………4分

（Ⅱ）因为
，

所以
， ……………………6分

， ………9分

，
………11分

所以
，
的取值范围
． …………………12分

20．（命题意图：本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、
运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．）

解：（Ⅰ）证明：在△
中，

∵
，
，

∴△
为正三角形，

又∵
为
的中点，

∴
…………………………………1分

∵两个半圆所在平面
与平面
互相垂直且其交线为