1．已知集合A是函数
的定义域，集合B=
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

2．若复数满足
，则复数的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在等比数列
中，
则
（ ）

A．
B．3或
C．
D．
或

4. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱

的侧视图的面积为（ ）

A.
B .
C.
D.

5．某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移个单位，得到的函数为（ ）

A.
B.

C.
D.

7．若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）

A．
B．
　　　　　

C．
　　　 　D．

8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m分别与α、β交于A、C，过点P的直线n分别与α、β交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8.则BD的长为（ ）

A．
B.
C.
D.
或

11. 已知是抛物线
的焦点，、是该抛物线上的两点，
,则线段
的中点到轴的距离为（ ）

A.
　 B. C.
D.

12. 若直角坐标平面内的两个不同的点
满足条件：①
都在函数
的图象上；②
关于原点对称.则称点对
为函数
的一对“友好点对”.（注：点对
与
为同一“友好点对”）.已知函数
，此函数的友好点对有（ ）

A. 0对　 B. 1对 C. 2对 D. 3对

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量
，其中
，
，且
，则向量
和
的夹角是 .

14．若
，则
.

15. 从3名男生和名女生中，任选3人参加比赛，已知在选出的3人中至少有1名女生的概率为
，则= .

16. 已知数列
，且通项公式分别为
，现抽出数列
中所有相同的项并

按从小到大的顺序排列成一个新的数列
，则可以推断
（用
表示（
））．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分 ）

在
中，角
对的边分别为
，已知
.

（1）若
，求
的取值范围；

（2）若
，求
面积的最大值.

18.（本题满分12分 ）

2013年国庆期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段
，
，
，
，
，
后得到如下图的频率分布直方图.

（1）此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?

（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；

（3）若从车速在
的车辆中任抽取3辆,求抽出的3辆车中车速在
的车辆数
的分布列及数学期望.

19.（本题满分12分 ）

等边三角形
的边长为3,点、分别是边
、
上的点,且满足

(如图1).将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
成直二面角,连结
、
(如图2).

（1）求证:
平面
；

（2）在线段
上是否存在点,使直线
与平面
所成的角为
?若存在,求出
的长,若不存在,请说明理由.

20.（本题满分12分 ）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离为
，离心率
.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线
交于、
两点，点
，问是否存在，使
?若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

21.（本题满分12分 ）

已知函数
在
处的切线的斜率为.

（1）求实数的值及函数
的最大值；

（2）证明：
．

选考题：本小题满分10分

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一点，过点
作半圆的切线
，过点作
于，交半圆于点，
.

（1）证明：
平分
；

（2）求
的长．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

函数
.

（1）若
，求函数
的定义域；

（2）设
，当实数
时，证明：
.

2014年红河州高中毕业生复习统一检测

理科数学参考答案(更正)

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

C

B

A

A

D

D

D

D

B

C

C



二、填空题

13.
14.
15. 4 16.

三、解答题

17. 解：（1）
，

……… （2分）

……… （4分）

.

……… （6分）

（2）

，

……… （8分）

……… （10分）

当且仅当
时
的面积取到最大值为
. .……… （12分）

18.解: （1）系统抽样 …………………………………2分

(2)设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估计值为

,解得

即中位数的估计值为
………4分

(3)从图中可知,车速在
的车辆数为
(辆),

车速在
的车辆数为
(辆)

∴
可取：1,2,3 ………6分

,
,
, ………8分

1

2

3














的分布列为

………10分

均值
. …………12分

19. (1) 因为等边△
的边长为3,且

,

所以
,
.

在△
中,
,

由余弦定理得
.

因为
,

所以
. ……… （4分）

折叠后有

因为二面角
是直二面角,所以平面
平面

又平面

平面

,
平面
,
,

所以
平面
……… （6分）

所以在线段
上存在点,使直线
与平面
所成的角为
,此时
（12分）

解法2:由(1)的证明,可知
,
平面
.

以为坐标原点,以射线
、
、
分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图

设

,

则
,
,

所以
,
,

所以
……… （8分）

因为
平面
,

所以平面
的一个法向量为

因为直线
与平面
所成的角为
,

所以

, ……… （10分）

解得

即
,满足
,符合题意

所以在线段
上存在点,使直线
与平面
所成的角为
,此时
…… （12分）

20. 解：（1）设椭圆E的方程为
，

由已知得


，
，从而
……… （2分）

椭圆E的方程为
……… （4分）

（2）由

设
、
， 则
，
，

……… （6分）

由题意
，

……… （8分）

要
，就要
， 又
，

，

，

……… （10分）

或
，又
，
，

故存在
使得
. ……… （12分）

21. 解： （1）由已知可得函数的定义域为

……… （2分）

在
是单调递增

的最大值不存在 ……… （6分）

（2）由（1）令
，则

,

,当且仅当
时等号成立

令

则

……… （12分）

22. 解： （1）连接
，因为
，

所以

为半圆的切线

，

平分
……… （5分）

（2）连接
，

由
知

所以
四点共圆

，

，

……… （10分）

24. 解:（1）由

得
……… （5分）

（2）

又

而