虹口区2014届高三5月模拟考试（三模）

数学文

（时间120分钟，满分150分）

一、填空题（每小题4分，满分56分）

1、
是第二象限角，则
是第 象限角．

分析： 一或三

2、复数满足
，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .

分析：
．

3、已知全集
，集合
,
,

若
，则实数的值为 .

分析：
，则
．

4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都

与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球

的体积之比为 .

分析： 设底面半径为，则它们的高

，
，
，则
.

5、已知
，则
的值为 .

分析：设
，即
，

则
.

6、定义在上的奇函数
，
，且当
时，
（
为常数），则
的值为 .

分析：
，
，则
,
，当
时，
，
.

7、公差不为零的等差数列
中，
，数列
是等比数列，且
，则
等于 .

分析：等差数列
中，
，则
，

取
，
.

8、设、满足约束条件
，则
的最小值是 ．

分析：

9、已知等差数列
的通项公式为
，则
的展开式中
项的系数是数列
中的第 项．

分析： 20

10、已知
为实数，若复数
是纯虚数，则的虚部为

分析：

则
，
.的虚部为
.

11、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .

分析：设取红球个，白球个，则

，取法为
.

12、棱长为1的正方体
及其内部一动点，集合
,则集合
构成的几何体表面积为 .

分析：
.

13、是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值等于 .

分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，
，
，再根据双曲线的定义得
的最大值等于9.

14、设
为实数，且满足：
，

，则
.

分析：
，

令
，则
是递增函数，且

则
，即
.

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15、已知
，
,如果
∥
，则实数
的值等于（ ）

分析：

16、已知、
、是
的三边长，且满足
，则
一定是（ ）．

、等腰非等边三角形 、等边三角形
、直角三角形 、等腰直角三角形

分析： 方程化为
，选.

17、“
”是“函数
（
）在区间
上为增函数”的( )

、充分不必要条件 、必要不充分条件

、充要条件 、既不充分也不必要条件

分析：
时，
在
上为增函数；

反之，
在区间
上为增函数，则
，故选.

18、如果函数
在
上的最大值和最小值分别为
、，那么
.根据这一结论求出
的取值范围（ ）.

、
、


、
、

分析：求
在
上的最值，选.

三、解答题（满分74分）

19、（本题满分12分）如图，直四棱柱
底面
直角梯形，
∥
，
，是棱
上一点，
，
，
，
，
.

（1）求直四棱柱
的侧面积和体积；

（2）求证：
平面
.

解：（1）底面直角梯形的面积
，

……………………2分

过作
交
于
，在
中，
，
，则
，……………4分

侧面积
……6分

（2）
，
，

，
………………9分

，
.又
，
平面
.……12分

20、（本题满分14分）已知椭圆
，
、
是椭圆的左右焦点，且椭圆经过点
.

（1）求该椭圆方程；

（2）过点
且倾斜角等于
的直线
，交椭圆于
、
两点，求
的面积.

解（1）
，则椭圆方程为
.

…………………………6分

（2）设
，
，直线
.……………………8分

由
，……………………10

，

.………………14分

21、（本题满分14分）如图，
、是两个小区所在地，
、到一条公路
的垂直距离分别为

，

，
两端之间的距离为

.

（1）某移动公司将在
之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、
的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.

（2）环保部门将在
之间找一点
，在
处建造一个垃圾处理厂，使得
对
、所张角最大，试确定点
的位置.

解：（1）设
，
，
.

依题意有
，
.……………………3分

由
，得
，解得
，故点应选在距点2
处.…………6分

（2）设
，
，
.

依题意有
，
，

…………10分

令
，由
，得
，
，

………………12分

，
，

当
，所张的角为钝角，最大角当
，即
时取得，故点
应选在距点

处.………………14分

22、（本题满分16分）阅读：

已知、
，
，求
的最小值.

解法如下：
，

当且仅当
，即
时取到等号，

则
的最小值为
.

应用上述解法，求解下列问题：

（1）已知
，
，求
的最小值；

（2）已知
，求函数
的最小值；

（3）已知正数
、
、
，
，

求证：
.

解（1）
，

……………………………………2分

而
，

当且仅当
时取到等号，则
，即
的最小值为
.

………………………………5分

（2）
，

………………………………7分

而
，
，

当且仅当
，即
时取到等号，则
，

所以函数
的最小值为
.……………………10分

（3）

当且仅当
时取到等号，则
.………………………16分

23、（本题满分18分）已知数列
和
满足：
，其中
为实数，为正整数.

（1）对任意实数
，求证：
不成等比数列；

（2）试判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）设
为数列
的前项和.是否存在实数
，使得对任意正整数，都有
?若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由.

解（1）证明：假设存在一个实数
，使
是等比数列，则有
,

即
矛盾.

所以
不成等比数列.…………………………4分

（2）因为

……………………6分

又
,

所以当
，
，(为正整数)，此时
不是等比数列.……8分

当
时，
，由上式可知
，∴
(为正整数) ，

故当
时，数列
是以
为首项，－
为公比的等比数列.

………………………………10分

（3）由（2）知，当
时，
, 则
，所以
恒成立.

当
，得
，于是

……………………………………13分

要使对任意正整数，都有
成立，即

，令
，

则当为正奇数时，
当为正偶数时，

∴
的最大值为
, 于是可得

综上所述，存在实数
，使得对任意正整数，都有

………………………………………………18分