2014届高三年级八校联合调研考试试卷

数学（理科）

一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

在复平面上，复数
对应的点到原点的距离为 ．

已知函数

的最小正周期是
，则
．

向量
在向量
方向上的投影为 ．

已知正数
满足
，则行列式
的最小值为 ．

阅读右边的程序框图，如果输出的函数值
在区间
内，则输入的实数
的取值范围是 ．

设
是一元二次方程
的两个虚根.若
，则实数
．

集合
，
．若“a＝1”是“
”的充分条件， 则实数b的取值范围是 ．

已知椭圆的焦点在
轴上，一个顶点为
，其右焦点到直线
的距离为
，则椭圆的方程为 ．

在△
中，
所对边分别为
、
、
．若
，则
．

已知数列
的首项
，其前n项和为
．若
，则
．

某地球仪上北纬
纬线长度为
cm，该地球仪的表面上北纬
东经
对应点
与北纬
东经
对应点
之间的球面距离为 cm（精确到0.01）．

已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，
为抛物线
的焦点．若
，则实数
．

将
的图像向右平移2个单位后得曲线
，将函数
的图像向下平移2个单位后得曲线
，
与
关于
轴对称．若
的最小值为
且
，则实数
的取值范围为 ．

已知“
”为“
”的一个全排列．设
是实数，若“
”可推出“
或
”，则满足条件的排列“
”共有__________个．

二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．

函数
的反函数是　 　 （ ）

(A)
． (B)
．

(C)
． (D)
．

直线
的法向量是
. 若
，则直线
的倾斜角为 ( )

(A)
(B)
(C)
(D)

已知
、
、
是单位圆上三个互不相同的点.若
，则
的最小值是（ ）

(A)
． （B）
． （C）
． （D）
．

等差数列
的公差
，
，前
项和为
，则对正整数
，下列四个结论中：

（1）
成等差数列，也可能成等比数列；

（2）
成等差数列，但不可能成等比数列；

（3）
可能成等比数列，但不可能成等差数列；

（4）
不可能成等比数列，也不可能成等差数列；

正确的是 （ ）

(A)（1）（3）. （B）（1）（4）. （C）（2）（3）. （D）（2）（4）.

三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

在直三棱柱
中,
,
，求：

（1）异面直线
与
所成角的大小；

（2）直线
到平面
的距离．

(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)

已知
，其中
是常数．

（1）若
是奇函数，求
的值；

（2）求证：
的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于
轴．

（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）

如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设
．

（1）试用
表示
的面积；

（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时
的大小．

（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知点
、
为双曲线
：
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的直线，在
轴上方交双曲线
于点
，且
．圆
的方程是
．

（1）求双曲线
的方程；

（2）过双曲线
上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
、
，求
的值；

（3）过圆
上任意一点
作圆
的切线
交双曲线
于
、
两点，
中点为
，求证：
．

（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）

在等差数列
和等比数列
中，
，
，
是
前
项和．

（1）若
，求实数
的值；

（2）是否存在正整数
，使得数列
的所有项都在数列
中？若存在，求出所有的
，若不存在，说明理由；

（3）是否存在正实数
，使得数列
中至少有三项在数列
中，但
中的项不都在数列
中？若存在，求出一个可能的
的值，若不存在，请说明理由．

2014届高三年级八校联合调研考试试卷

数学（理科）

填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

题号

1

2

3

4

5

6

7



答案



1



（-2,2）

3



4



题号

8

9

10

11

12

13

14



答案













224



二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．

题号

15

16

17

18



答案

D

B

C

D





三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

在直三棱柱
中,
,
，求：

（1）异面直线
与
所成角的大小；

（2）直线
到平面
的距离．

解：（1）因为
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成角. ………………1分

因为
,
,所以
平面
，所以
. ………………3分

在
中,
,所以
………………5分

所以异面直线
与
所成角的大小为
． ………………6分

（2）因为
//平面

所以
到平面
的距离等于
到平面
的距离 ………………8分

设
到平面
的距离为
，

因为
，所以
………………10分

可得
………………11分

直线
与平面
的距离为
． ………………12分

20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)

函数
，其中
是常数且
．

（1）若函数
是奇函数，求
的值；

（2）求证：函数
的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于
轴．

解：（1）解法一：设
定义域为
,则：

因为
是奇函数，所以对任意
，有
，…………3分

得
. …………5分

此时，
，
，为奇函数。 …………6分

解法二：当
时，函数
的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数.…………2分

当
时，函数
的定义域是一切实数. …………3分

要使得函数是奇函数，则
对
成立。 …………5分

所以
…………6分

（2）设定义域内任意
，设

…………9分

当
时，总有
，

，得
； …………11分

当
时，

，得
。

故总有
在定义域上单调递增 …………13分

的图像上不存在两点，使得所连的直线与
轴平行 …………14分

21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）

如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设
．

（1）试用
表示
的面积；

（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时
的大小．

解：（1）设
为