铁一中模拟考试

数学（文科）试题

第I卷 选择
题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，则

A.
　 B.

C.
D.

2.已知
，β表示两个不同的平面，l为
内的
一条直线，则“
//β是“l//β”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3．已知复数

（
是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且

，则

A.
B.
C.
D.

4．把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再将图象向右平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为

A．
B．
C．
D．

5．下列命题中，真命题是

A．
B．

C．
D．

6． 等比数列
中
，公比
，记
（即
表示

数列
的前
项之积），
，
，
，
中值为正数的个数是

A． B．
C．
D．

7．某几何体的三
视图如右图所示，则其侧面积为

A．
B．

C．
D．

8．阅读右侧程序框图，输出的结果
的值为

A.
B.

C.
D.

9．在区间
和
分别取一个数,记为
, 则方程
表示焦点在
轴上且离心率小于
的椭圆的概率为

A．
B．
C．
D．

10．设函数
，若互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是

A.
B．
C．
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）[来源:学科网ZXXK]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.若
，θ为第二象限角，则tan2θ= ；

12．在斜二测画法中，一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则其面积为______；

13.向量
，若
，则实数
等于 ；

14. 已知直线

和圆

,则与直线
和圆
都相切且半径最小的圆的标准方程是_________．

15．（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A.（坐标系与参数方程）已知直线
的参数方程为
(
为参数)，圆
的参数方程为
(
为参数), 则圆心
到直线
的距离为_________．

B. (几何证明选讲) 如图，
是圆
外一点，过
引圆
的两条割线
、
，
，
，则
___
______．

C.（不等式选讲）若不等式
对任意的实数
恒成立，则实数
的取值范围是_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

PM2.5
指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

古城西安地区2013年3月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）计算这10天PM2．5数据的平均值并判断其是否超标;

（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率
;

（III）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．

PM2.5日均值（微克/立方米）





2

1

6





3

7







5

9







6

0

3





8

5

6





10

4

7







17.（本小题满分12分）

某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在
处获悉后，测出该渔轮在方位角为
，距离为
的
处，并测得渔轮正沿方位角为
的方向，以
的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以
的速度前去营救. （注：方位角定义:从某点的正北方向起,顺时针方向旋转到目标方向的角）

（I）求舰艇靠近渔轮所需的时间；

（II）设舰艇的航向与
的夹角为
，求
的正弦值．

18．(本题满分12分)

已知数列
的前
项和为
，数列
是公比为
的等比数列，
是
和
的等比中项.

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和
.

19. （本小题满分12分）

如图所示，在棱长为2的正方体
中，
、
分别为
、
的中点．

（I）求证：
//平面
；

（II）求证：
；

（III）求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分13分）

已知圆C：
，直线L：
.[来源:学+科+网]

（I）求证：对m
，直线L与圆C总有两个交点；

（II）设直线L与圆C交于点A、B，若|AB|=
，求直线L的倾斜角；

（III）设直线L与圆C交于
A、B，若定点P(1,1)满足
,求此时直线L的方程.

[来源:学科网ZXXK]

21．（本小题满分14分）

已知在函数
的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

（I）求m、n的值；

（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式
恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；

（III）求证：
.

铁一中模拟考试数学（文）参考答案及评分标准

一、选择题

CABAD BACBD

二、填空题

11、
12、
13、5 14、

15、A、
B、 (-∞，0)∪{2} C、2

三、解答题[来源:学科网ZXXK]

16.本题满分12分

事件B，事件B包含8个基本事件，…………………………10分

P（B）=
.……………………………………12分

17.解：
，……………………3分

……………………………6分

……………………………………………9分

或
（舍）……
……………………………11分

舰艇靠近渔轮的时间为
，
………………12分

18.（I）解：∵
是公比为
的等比数列，

∴
. …………… 1分

∴
.

从而
，
. …………… 3分

∵
是
和
的等比中项

∴
，解得
或
. …………… 4分

当
时，

，
不是等比数列， …………… 5分

∴
1.

∴
.
…………… 6分

当
时，
. …………… 7分

∵
符合
，

∴
.
…………… 8分

（II）解：∵
，

∴
.①

.② ………… 9分

①
②得
………… 11分

.

∴
. …………… 12分

19. 解（I）连结
，在
中，
、
分别为
，
的中点，则

∵EF为中位线…………2分

而
面
，
面

面
…………4分

（II）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点

①…………5分

正方体

，

②…………7分

综合①②，且

，而
，

…………………………………………………8分

（III）由（2）可知

即CF为高 ，
…………10分

，

∴
即

∴
…………12分

=
…………12分

20.解：（I）直线l恒过
定点P(1,1).……………………2分

由于12-(1-1)2<5知点P在圆C内，

所以直线l与圆C恒有两个交点；………………4分

(II)圆心到直线的距离

，又
…………6分

所以，

解得m=
………………………………8分

所以，l的倾斜角为
……………10分

（3）解法一、设A
,B
.

由
得：

所以
（1）

直线L的斜率存在，设其方程为

所以

由（1）、（2）、（3）消去
解得

故所求直线L的方程为
…………………13分

解法二：如图，过点C做CD⊥AB于D，设|
AP|=t,则|PB|=2t,|AD|=1.5t,

|PD|=0.5t.

在Rt△CDP中，

有 CP2=CD2+PD2，得CD2=1-(0.5t)2

在Rt△CDA中, CD2=5-
所以，t=
,

从而，CD=
，设直线AB方程为
，[来源:学科网ZXXK]

，解得
，

故所求直线L的方程为
………………………13分

21. （本小题满分14分）

解:（1）
依题意，得

∴

∴
…………………………………………………（4分）

（2）令

当
在此区间为增函数

当
在此区间为减函数

当