第Ⅰ卷(选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若
的展开式中含
项，则最小自然数是（ ）

A．2 B．5 C．7 D．12

4．若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．在
中（
为坐标原点）,
,
.若
，则
面积为（ ）

A．
B．
C．5
D．

6．下列四个命题中真命题的个数是 （ ）

①若
是奇函数，则
的图像关于轴对称；②若
，则
；③若函数
对任意∈R满足
，则8是函数
的一个周期；④命题“在斜
中，
成立的充要条件；⑤命题

“
”的否定是“
”

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知函数
的图象如右图所示，则
的解析式可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
的部分图象如右图所示,设是图象最高点,
是图象与轴的交点,记
,则
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）

A．
B．
C．
D．
．

10．设集合
，
,函数
若
，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
　　 　　B.
C.
　 D.

11. 设
分别为双曲线

的左、右焦点，为双曲线右支上任一点。若
的最小值为
，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．（1，
] B．（1，3） C．（1，3] D．[
，3）

12. 已知定义的R上的偶函数
在
上是增函数，不等式
对任意
恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷(非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）

13．若框图（右图）所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入

的关于的条件是___________.

14. 在平面区域
上恒有
，则动点
所形成平面区域的面积为 .

15．函数
图像与函数

图像所有交点的纵坐标之和 .

16．已知
为
的三个内角, 向量
,
.如果当
最大时,存在动点
, 使得
成等差数列, 则
最大值是 .

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.)

17. （本小题满分12分）将函数
在区间
内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列
．（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
,数列
的前项和为
，求
的表达式．

18．（本小题满分12分）某中学有6名爱好篮球的高三男生，现在考察他们的投篮水平与打球年限的关系，每人罚篮10次，其打球年限与投中球数如下表:

学生编号

1

2

3

4

5



打球年限/年

3

5

6

7

9



投中球数/个

2

3

3

4

5



（Ⅰ）求投中球数关于打球年限
的线性回归方程，若第6名同学的打球年限为11年，试估计他的投中球数(精确到整数).

（Ⅱ）现在从高三年级大量男生中调查出打球年限超过
年的学生所占比例为
，将上述的比例视为概率。现采用随机抽样方法在男生中每次抽取1名，抽取3次，记被抽取的3名男生中打球年限超过
年的人数为X。若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望
。

19. （本小题满分12分）如图，在四棱柱
中，侧面

⊥底面
，
，底面
为直角梯形，

其中

，O为
中点。

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求锐二面角
的余弦值.

20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标是
,过点
垂直与长轴的直线交

椭圆与
两点,且
.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过
的直线与椭圆交与不同的

两点
,则
的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线

方程；若不存在,请说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数
（为常数，
）

（Ⅰ）当
时，求函数
在
处的切线方程；（Ⅱ）当
在
处取得极值时，若关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；

（III）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，

且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与

圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）若
，试求
的大小．

23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中，

直线
：
与直角坐标系中的曲线Ｃ：
（
为参数），

交于
两点．

（Ⅰ）求直线
在直角坐标系下的方程；（Ⅱ）求点
与
两点的距离之积
．

24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

关于的不等式
.（Ⅰ）当
时，解此不等式；

（Ⅱ）设函数
，当为何值时，
恒成立？

大庆实验中学2014届高三得分训练（二）理科数学 参考答案

一、选择题 CACBD CBADB CB

二、填空题 13.
或
; 14.4; 15.4; 16.

三、解答题

17. （Ⅰ）化简
，其极值点为
，

它在
内的全部极值点构成以
为首项，为公差的等差数列，

． （6分）

（Ⅱ）

∴

相减得，

∴
． （12分）

18. 解： (Ⅰ) 设所求的线性回归方程为
，

则
，
.

所以投中球数关于打球年限的线性回归方程为

.（4分）

当
时,

∴可以估计第6名同学投中球数为
个．　　　　　 （6分）























（Ⅱ）由题意可知，
, （8分）

从而
的分布列为（要有运算过程）

（10分）

期望为
（12分）

19. （Ⅰ）证明：如图，连接
， 则四边形
为正方形，
，且
故四边形
为平行四边形，
，

又
平面
，
平面

平面
（6分）

（Ⅱ）
为
的中点，
，又侧面
⊥底面
，故
⊥底面
，以
为原点，所
在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示

的坐标系，则

， （8分）

，

设
为平面
的一个法向量，由
，得
，

令
，则
（10分）

又设
为平面
的一个法向量，由
，得
，令
，则
，则
，

故所求锐二面角
的余弦值为
（12分）

注：第2问用几何法做的酌情给分。

20.解： （Ⅰ）设椭圆的方程是
, 由交点的坐标得:
,

由
,可得
，解得
故椭圆的方程是

（Ⅱ）设
,不妨设

设
的内切圆半径是,则
的周长是
,

, 因此
最大,就最大

由题知,直线
的斜率不为0,可设直线
的方程为
,

由
得,
,

法一：解得

则
令
则

则

令

当
时,
,
在
上单调递增,

有
,

即当
时,
所以
,

此时所求内切圆面积的最大值是

故直线
,
内切圆的面积最大值是

法二：用韦达定理

以下同上

21. （Ⅰ）
时，

，

于是
，又
，即切点为（
切线方程为
（3分）

（Ⅱ）
，
，即
，

此时，
，
上减，
上增，

又

（7分）

（III）

因为
，所以
，即

所以
在
上单调递增，所以

只需满足

设

又

在1的右侧需先增，

设
，对称轴

又
，
在
上，
，即

在
上单调递增，

所以，的取值范围是
（12分）22. （Ⅰ）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定

理
，
，得
，设半径OB=
，

因BD=OB，且BC=OC=
，则
，
，

所以
(5分)

（Ⅱ）由（1）可知，
，

且
，

故
∽
，所以
；

根据圆周角定理得，
，则
（10分）

23．解：（Ⅰ）由
：
得
（3分）

从而
在直角坐标系中方程为
（4分）

（Ⅱ）曲线Ｃ的普通方程为
（5分）

由
得
或

从而
，