铁一中模拟考试

数 学（理科）试 题

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.已知集合
，
，则

A.
　　　 B.

C.
　 　 D.

2.已知复数

（
是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且
，则

A.
B.
C.
D.

3．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的

A.
?
B.
?

C.
? D.
?

4
．函数
为奇函数，且在
上为减函数的
值可以是

A．
B．
　　　 C．
D．

5．下列命题中，真命题是

A．

B．

C．

D．

6．若不等式组
所表示的平面区域被直线
分成面积相等的两部分，则k的值为

A.
B.
C.
D.

7．如图，某几何体的正视图和俯视图都是
矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

8．已知

、
为双
曲线C:
的左、右焦点，点
在
上∠
=
，则
到
轴的距离为

A.
B.
C.
D.

9．如图，正方体
中，
为底面
上的动点，
于
，且
，则点
的轨迹是

A.线段 B.圆弧

C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

10．设函数
，若互不相等的实数
满足
，则
的取值范围是

A.
B．
C．
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，
满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11．设函数
，其中
，则
的展开式中
的系数为_________．

12．已知直线

和圆

,则与直线
和圆
都相切且半径最小的圆的标准方程是_________．

13．将4名新来
的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为_________．（用数字作答）

14．设P为等边
所在平面内的一点，满足
，若AB=1，则
的值为_________．

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

（1）．(选修4—1 几何证明选讲）如图，
是圆
外一点，过
引圆
的两条割线
、
，
，
，则
_________．

（2）．（选修4—5 不等式选讲）若不等式

对任意的实数
恒成立，则实数
的取值范围是_________．

（3）．（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线
的参数方程为
(
为参数)，圆
的参数方程为
(
为参数), 则圆心
到直线
的距离为_________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）

16．（本小题
满分12分）已知函数
．

（1）求
的最小正周期和单调递增区间；

（2）求
在区间
上的最大值与最小值．

17．（本小题满分12分）数列
的前
项和是
，且
.

⑴ 求数列

的通项公式；

⑵ 记
，数列
的前
项和为
，证明：
.

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥
中，侧面
与底面
垂直,
分别是
的中点,
,
,
.

（1）若点
在线段
上，问：无论
在
的何处，是否都有
？请证明你的结论；

（2）求二面角
的平面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取
名同学进行学业检测．

（1）求从甲组抽取的同学中恰有
名女同学的概率；

（2）记
为抽取的
名同学中男同学的人数，求随机变量
的分布列和数学期望．

20.（本小题满分13分）已知
是x轴上的点，坐标原点O为线段
的中点，
是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，

.

（1）求
的轨迹C的方程；

（2）Ａ、Ｂ为轨迹Ｃ上任意两点，且
，Ｍ为AB的中点，求
面积的最大值.

21.（本小题满分14分）已知函数

（
是自然对数的底数）.

（1）当
时，求
的单调区间；[来源:Z,xx,k.Com]

（2）若
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；

（3）证明
对一切
恒成立.

[来源:学_科_网]

铁一中模拟考试 数学（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3[来源:学科网]

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

D

D

C

B

B

A

D



二、填空题:

11．10； 12．
； 13．24； 14．3．

15．（1）2； (2)．
(3)．
．

三、解答题

16．解：（1）由已知可得

,

的最小正周期是
, …………
3分

由
， 得

所以函数
的单调递增区间为
．…………6分

（2）由（1）
．

因为
，所以
， …………8分

当
时，即
时，
取得最大值
；

当
，即
时，
取得最小值
． …………12分

17. 解：(1)由题
①，

②，

①-②可得
，则
. …………3分

当
时
，则
，则
是以
为首项，
为公比的等比数列，

因此
. …………6分

(2)
， …………8分

所以
，

. …………12分

18．?解：（
1） 在
中，
//
,
，

，

平面
平面
，
，

平面
，
平面
，

,

平面
，

平面
，

，

所以无论
在
的何处，都有
. …………6分

(2) 由（1）
平面
，

，

又

，

，

平面
，

，

是二面角
的平面角，

在
中


，

所以二面角
的平面角的余弦值为
， …………12分

法二：（1）

是
的中点，


，又
平面
平面
，

平面
，同理可得
平面
，

在平面
内，过
作
以
为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

，
，
，
，

，
，…………3分

，设
，则
，
，

恒成立，所以无论
在
的何处，

都有
，…………6分

（2）由（1）知平面
的法向量为
=
，

设平面
的法向量为
，

则
，
，即
，

令
，则
，
，
，…………10分，

，

所以二面角
的平面角的余弦值为
， …………12分

19. 解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为
，

所以，从甲组抽取的学生人数为
；从乙组抽取的学生人数为
．

设“从甲组抽取的同学中恰有
名女同学”为事件
,则
，

故从甲组抽取的同学中恰有
名女同学的概率为
． …………6分

（2）随机变量
的所有取值为
．

,
，

,
．

所以，随机变量
的分布列为:

























． …………12分

20. 解：（1）取EG的中点为H,则
,

,
,

,
PH是线段EG的垂直平分线, …………2分

,

,

P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为
，…………4分

则2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=1
6，

. …………6分[来源:学&科&网]

(2)
，

，

，
A、B、E三点共线， …………8分

，设AB所在直线方程为
，

联立
，整理得
，
，[来源:Zxxk.Com]

M点的纵坐标为

， …………11分

=
，

当
，即
时，
OEM的
面积最大为
. …………13分

21．解：（1）当
时，
，

，由
，

所以，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减. …………4分

（2）
，

由题意得当
时，
恒成立,

令
，有
，得
，

所以
的范围是
, …………9分

（3）令
得
，
，

所以
在
上为减函数，对于任意
，都有
，故有
，

即

，

即
． …………14分